24.1.4圆周角定理及其运用

24.1.4圆周角复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？顶点在圆心的角叫圆心角。考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。•当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACDE生活实践E●OBDCA你能发现什么规律？AC所对的圆周角∠AEC∠ABC∠ADC的大小有什么关系？⌒画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?圆心在一边上圆心在角内圆心在角外•如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?•说说你的想法,并与同伴交流.●OABC●OABC●OABC结论:圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。结论:圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．巩固练习：如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是。ABOC1C2C3推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。问题2：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。90°180°探究与思考：·ABC1OC2C3归纳：定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论练一练1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB练一练3、如图，∠A=50°，∠ABC=60°BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A、70°；B、110°；C、90°；D、120°B4、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是。ACBODECABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2第二课时应用•回顾：圆周角定理及推论？•思考：判断正误：1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）2.相等的圆周角所对的弧相等（）3.90°角所对的弦是直径（）4.直径所对的角等于90°（）5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（）例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.例题OABCD3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.课本练习圆内接多边形与多边形的外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；这个圆叫做这个多边形的外接圆.例如：如图，四边形ABCD是⊙O的；⊙O是四边形ABCD的.探究：圆内接四边形的对角有什么关系？课堂练习•1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？OABC•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且∠BCD=100°，求∠BOD（所对的圆心角）和∠BAD的大小。OBDCA探究3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。ACBDF·O∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90°连接BF，则∠AFB=90°，∴∠A＜90°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，小结：1、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.2、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径.3、应用：求角的度数，证明角、线段、弧的相等关系.（在圆中，常作直径，构造直角三角形）