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【椭圆】本卷共100分,考试时间90分钟一、选择题(每小题4分,共40分)1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)2.已知1F、2F是椭圆的两个焦点,满足12.0MFMF的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.1(0,]2C.2(0,)2D.2[,1)23.已知椭圆1121622yx的左焦点是1F,右焦点是2F,点P在椭圆上,如果线段1PF的中点在y轴上,那么12:PFPF的值为A.35B.12C.56D.534.已知椭圆的两个焦点为)0,5(1F,)0,5(2F,M是椭圆上一点,若021MFMF,821MFMF,则该椭圆的方程是()(A)12722yx(B)17222yx(C)14922yx(D)19422yx5.设椭圆22221(00)xymnmn,的右焦点与抛物线28yx的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为()A.2211216xyB.2211612xyC.2214864xyD.2216448xy6.椭圆22ax+22by=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=,且∈[12,4],则该椭圆离心率的取值范围为()A.[22,1)B.[22,36]C.[36,1)D.[22,23]7.设抛物线)0(22ppxy的焦点F恰好是椭圆12222byax0ba的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为(A)23(B)32(C)12(D)368.在椭圆22221(0)xyabab上有一点M,12,FF是椭圆的两个焦点,若2212||||bMFMF,则椭圆离心率的范围是()A.]22,0(B.)1,22[C.)1,23[D.)1,2[9.设椭圆)0,0(12222nmnymx的右焦点与抛物线xy82的焦点相同,离心率为21,则此椭圆的方程为()A.1161222yxB.1121622yxC.1644822yxD.1486422yx10.在椭圆22221(0)xyabab上有一点M,12,FF是椭圆的两个焦点,若2212||||bMFMF,则椭圆离心率的范围是()A.]22,0(B.)1,22[C.)1,23[D.)1,2[二、填空题(共4小题,每小题4分)11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点,12PFF是一个以PF1为底的等腰三角形,1||4,PFC1的离心率为3,7则C2的离心率为。12.设F1、F2是椭圆14922yx的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△PF1F2的面积等于.13.椭圆22221xyab上的点P到它的两个焦点1F、2F的距离之比12:2:3PFPF,且12(0)2PFF,则的最大值为..14.如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若090BAOBFO,则椭圆的离心率是.三、解答题(共44分,写出必要的步骤)15.(本小题满分10分)已知点P(4,4),圆C:22()5(3)xmym与椭圆E:22221(0)xyabab有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点,求APAQ的取值范围.16.(本小题满分10分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点M(-2,-1),离心率为22。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。(I)求椭圆C的方程;(II)PMQ能否为直角?证明你的结论;(III)证明:直线PQ的斜率为定值,并求这个定值。17.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点M(-2,-1),离心率为22。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。(I)求椭圆C的方程;(II)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论。18.(本小题满分12分)已知椭圆1C、抛物线2C的焦点均在x轴上,1C的中心和2C的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:x3242y320422(Ⅰ)求12CC、的标准方程;(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件:①过2C的焦点F;②与1C交不同两点,MN、且满足OMON?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.答案一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.B9.B10.B二、填空题11.312.413.314.512三、解答题15.解:(Ⅰ)点A代入圆C方程,QPOyxF1ACF2得2(3)15m.因为m<3,∴m=1.……2分圆C:22(1)5xy.设直线PF1的斜率为k,则PF1:(4)4ykx,即440kxyk.因为直线PF1与圆C相切,所以2|044|51kkk.解得111,22kk或.当k=112时,直线PF1与x轴的交点横坐标为3611,不合题意,舍去.当k=12时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,所以c=4.F1(-4,0),F2(4,0).2a=AF1+AF2=52262,32a,a2=18,b2=2.椭圆E的方程为:221182xy.(Ⅱ)(1,3)AP,设Q(x,y),(3,1)AQxy,(3)3(1)36APAQxyxy.因为221182xy,即22(3)18xy,而22(3)2|||3|xyxy≥,∴-18≤6xy≤18.则222(3)(3)6186xyxyxyxy的取值范围是[0,36].3xy的取值范围是[-6,6].所以36APAQxy的取值范围是[-12,0].16.(Ⅰ)由题设,得4a2+1b2=1,①且a2-b2a=22,②由①、②解得a2=6,b2=3,椭圆C的方程为x26+y23=1.(Ⅱ)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,-2,x1是该方程的两根,则-2x1=8k2-8k-41+2k2,x1=-4k2+4k+21+2k2.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=-4k2-4k+21+2k2.因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),故kPQ=y1-y2x1-x2=k(x1+2)+k(x2+2)x1-x2=k(x1+x2+4)x1-x2=8k1+2k28k1+2k2=1,因此直线PQ的斜率为定值.17.(Ⅰ)由题设,得4a2+1b2=1,①且a2-b2a=22,②由①、②解得a2=6,b2=3,椭圆C的方程为x26+y23=1.………………………………………………………3分(Ⅱ)设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为-k,假设∠PMQ为直角,则k·(-k)=-1,k=±1.若k=1,则直线MQ方程y+1=-(x+2),与椭圆C方程联立,得x2+4x+4=0,该方程有两个相等的实数根-2,不合题意;同理,若k=-1也不合题意.故∠PMQ不可能为直角.…………………………………………………………6分(Ⅲ)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,-2,x1是该方程的两根,则-2x1=8k2-8k-41+2k2,x1=-4k2+4k+21+2k2.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=-4k2-4k+21+2k2.…………………………………………………………9分因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),故kPQ=y1-y2x1-x2=k(x1+2)+k(x2+2)x1-x2=k(x1+x2+4)x1-x2=8k1+2k28k1+2k2=1,因此直线PQ的斜率为定值.……………………………………………………12分18.解:(Ⅰ)设抛物线)0(2:22ppxyC,则有)0(22xpxy,据此验证4个点知(3,32)、(4,4)在抛物线上,易求xyC4:22………………2分设1C:)0(:22222babyaxC,把点(2,0)(2,22)代入得:121214222baa解得1422ba∴1C方程为1422yx…………………………………………………5分(Ⅱ)法一:假设存在这样的直线l过抛物线焦点(1,0)F,设直线l的方程为,1myx两交点坐标为),(),,(2211yxNyxM,由14122yxmyx消去x,得,032)4(22myym…………………………7分∴43,42221221myymmyy①212121212(1)(1)1()xxmymymyymyy4444342122222mmmmmmm②………………………9分由OMON,即0ONOM,得(*)02121yyxx将①②代入(*)式,得043444222mmm,解得21m…………………11分所以假设成立,即存在直线l满足条件,且l的方程为:22yx或22yx……………………………………………………………………12分法二:容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;……………………………6分当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点(1,0)F,设其方程为(1)ykx,与1C的交点坐标为),(),,(2211yxNyxM由2214(1)xyykx消掉y,得2222(14)84(1)0kxkxk,…………8分于是2122814kxxk,21224(1)14kxxk①212111212(1)(1)[()1]yykxkxkxxxx即2222122224(1)83(1)141414kkkyykkkk②………………………………10分由OMON,即0ONOM,得(*)02121yyxx将①、②代入(*)式,得2222224(1)340141414kkkkkk,解得2k;……11分所以存在直线l满足条件,且l的方程为:22yx或22yx.………12分
本文标题:高二数学椭圆单元测试题
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