高二数学椭圆单元测试题

【椭圆】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题(每小题4分，共40分)1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）2.已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足12.0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(0,1)B．1(0,]2C．2(0,)2D．2[,1)23.已知椭圆1121622yx的左焦点是1F，右焦点是2F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么12:PFPF的值为A．35B．12C．56D．534.已知椭圆的两个焦点为)0,5(1F，)0,5(2F，M是椭圆上一点，若021MFMF，821MFMF，则该椭圆的方程是（）(A)12722yx(B)17222yx(C)14922yx(D)19422yx5.设椭圆22221(00)xymnmn，的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A．2211216xyB．2211612xyC．2214864xyD．2216448xy6.椭圆22ax+22by=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=，且∈[12,4]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[22,1)B．[22,36]C．[36，1)D．[22,23]7.设抛物线)0(22ppxy的焦点F恰好是椭圆12222byax0ba的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为（A）23（B）32（C）12（D）368.在椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,FF是椭圆的两个焦点，若2212||||bMFMF，则椭圆离心率的范围是（）A．]22,0(B．)1,22[C．)1,23[D．)1,2[9.设椭圆)0,0(12222nmnymx的右焦点与抛物线xy82的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为（）A.1161222yxB.1121622yxC.1644822yxD.1486422yx10.在椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,FF是椭圆的两个焦点，若2212||||bMFMF，则椭圆离心率的范围是（）A．]22,0(B．)1,22[C．)1,23[D．)1,2[二、填空题(共4小题，每小题4分)11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，12PFF是一个以PF1为底的等腰三角形，1||4,PFC1的离心率为3,7则C2的离心率为。12.设F1、F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于．13.椭圆22221xyab上的点P到它的两个焦点1F、2F的距离之比12:2:3PFPF，且12(0)2PFF，则的最大值为．.14.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若090BAOBFO，则椭圆的离心率是.三、解答题(共44分，写出必要的步骤)15.（本小题满分10分）已知点P（4，4），圆C：22()5(3)xmym与椭圆E：22221(0)xyabab有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求APAQ的取值范围．16.（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点M（-2，-1），离心率为22。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。（I）求椭圆C的方程；（II）PMQ能否为直角？证明你的结论；（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。17.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点M（-2，-1），离心率为22。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论。18.（本小题满分12分）已知椭圆1C、抛物线2C的焦点均在x轴上，1C的中心和2C的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3242y320422（Ⅰ）求12CC、的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过2C的焦点F；②与1C交不同两点,MN、且满足OMON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．答案一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.B9.B10.B二、填空题11.312.413.314.512三、解答题15.解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，QPOyxF1ACF2得2(3)15m．因为m＜3，∴m＝1．……2分圆C：22(1)5xy．设直线PF1的斜率为k，则PF1：(4)4ykx，即440kxyk．因为直线PF1与圆C相切，所以2|044|51kkk．解得111,22kk或．当k＝112时，直线PF1与x轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k＝12时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，所以c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝52262，32a，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：221182xy．（Ⅱ）(1,3)AP，设Q（x，y），(3,1)AQxy，(3)3(1)36APAQxyxy．因为221182xy，即22(3)18xy，而22(3)2|||3|xyxy≥，∴－18≤6xy≤18．则222(3)(3)6186xyxyxyxy的取值范围是[0，36]．3xy的取值范围是[－6，6]．所以36APAQxy的取值范围是[－12，0]．16.（Ⅰ）由题设，得4a2＋1b2＝1，①且a2－b2a＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C的方程为x26＋y23＝1．（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－41＋2k2，x1＝－4k2＋4k＋21＋2k2．设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝－4k2－4k＋21＋2k2．因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k1＋2k2＝1，因此直线PQ的斜率为定值．17.（Ⅰ）由题设，得4a2＋1b2＝1，①且a2－b2a＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C的方程为x26＋y23＝1．………………………………………………………3分（Ⅱ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………6分（Ⅲ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－41＋2k2，x1＝－4k2＋4k＋21＋2k2．设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝－4k2－4k＋21＋2k2．…………………………………………………………9分因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k1＋2k2＝1，因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）设抛物线)0(2:22ppxyC，则有)0(22xpxy，据此验证4个点知（3，32）、（4，4）在抛物线上，易求xyC4:22………………2分设1C：)0(:22222babyaxC，把点（2，0）（2，22）代入得：121214222baa解得1422ba∴1C方程为1422yx…………………………………………………5分（Ⅱ）法一：假设存在这样的直线l过抛物线焦点(1,0)F，设直线l的方程为,1myx两交点坐标为),(),,(2211yxNyxM，由14122yxmyx消去x，得,032)4(22myym…………………………7分∴43,42221221myymmyy①212121212(1)(1)1()xxmymymyymyy4444342122222mmmmmmm②………………………9分由OMON，即0ONOM，得(*)02121yyxx将①②代入（*）式，得043444222mmm，解得21m…………………11分所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为：22yx或22yx……………………………………………………………………12分法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点(1,0)F，设其方程为(1)ykx，与1C的交点坐标为),(),,(2211yxNyxM由2214(1)xyykx消掉y，得2222(14)84(1)0kxkxk，…………8分于是2122814kxxk，21224(1)14kxxk①212111212(1)(1)[()1]yykxkxkxxxx即2222122224(1)83(1)141414kkkyykkkk②………………………………10分由OMON，即0ONOM，得(*)02121yyxx将①、②代入（*）式，得2222224(1)340141414kkkkkk，解得2k；……11分所以存在直线l满足条件，且l的方程为：22yx或22yx．………12分