内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析

内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-1-/21内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁UA为()A．2．复数为纯虚数，则实数a=()A．﹣2B．﹣C．2D．3．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于()A．4B．﹣4C．﹣1D．24．设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足an＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=()A．31B．36C．42D．485．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为()A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．执行如图的程序框图，则输出S的值为()A．2016B．2C．D．﹣17．如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）()内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-2-/21A．8+πB．8+4πC．16+πD．16+4π8．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．3B．4C．5D．69．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=()A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是()A．在上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈时，函数g（x）的值域是11．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为()A．1B．C．2D．212．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为()内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-3-/21A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（0＜X≤1）=0.3，则P（X≥2）=__________．14．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于__________．15．给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好．其中说法正确的是__________（请将正确说法的序号写在横线上）．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{an}的前n项和Sn，a1=﹣，Sn+（n≥2）．（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明；（2）设bn=，数列的{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣．18．某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：API（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，+∞）天数61222301416（1）若将API值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年2015届高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-4-/21（2）API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润f（x）与API值x的函数关系为：f（x）=（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和X，求离散型随机变量X的分布列以及数学期望和方差．19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．20．已知点F（1，0），点P为平面上的动点，过点P作直线l：x=﹣1的垂线，垂足为H，且•=•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同D的两点，且满足•=0，在A，B处分别作轨迹C的切线交于点N，求点N的轨迹E的方程；（3）在（2）的条件下，求证：kMN•kAB为定值．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC=2，CD=2．内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-5-/21（1）求圆O的半径；（2）若点E为AB中点，求证O，E，D三点共线．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁UA为()A．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出f（x）的定义域确定出A，根据全集U求出A的补集即可．解答：解：由f（x）=，得到1﹣lnx＞0，解得：0＜x＜e，即A=（0，e），内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-6-/21∵全集U=（0，+∞），∴∁UA=A．8+πB．8+4πC．16+πD．16+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，结合图中数据求出它的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，且下部长方体的长、宽、高分别为4、2、2，上部圆柱体的底面圆半径为1，高为1；∴该几何体的体积（容积）为V=V长方体+V圆柱体=4×2×2+π×12×1=16+π．故选：C．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．8．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．解答：解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-7-/21点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=()A．B．C．D．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：应用题；解三角形．分析：根据sinC=2sinB，由正弦定理得，，再利用余弦定理可得结论．解答：解：因为sinC=2sinB，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以A=．故选A．点评：本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求．10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是()A．在上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈时，函数g（x）的值域是考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-8-/21把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈时，函数g（x）的值域是，D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．11．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为()A．1B．C．2D．2考点：定积分的简单应用．专题：导数的综合应用．分析：由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求．解答：解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D．内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析-9-/21点评：本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．12．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为()A．B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f（mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案．解答：解：∵f（x）=∴f（m）+f（n）=2﹣﹣=1∴∴lnm+1=∴f（mn）=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣≥1﹣=（当且仅当，即n=m=e3时等号取到）故选B．点评：本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（0＜X≤1）=0.3，则P（X≥2）=0.2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于X=1称，根据曲线的对称性得到P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1），根据概率的性质得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于X=1对称，∴P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1）=0.2故答案为：0.2．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及