函数极限的性质

第三章函数极限二函数极限的性质§2函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）()xfxlim；2）()xfx-lim；3）()xfxlim；4）()xfxx0lim；5）()xfxx-0lim；6）()xfxx0lim它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第6）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。过程时刻从此时刻以后nxx-xNNnNxNxNx-)(xf-Axf)(0xx-00xx0xx-0xx-00xx00--xx过程时刻从此时刻以后)(xf-Axf)(定理1(函数极限的唯一性)如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,,(1))(0,0,0101--$Axfxx时有当则,(2))(0,0202--$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021-=.2)()())(())((-----=-BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA=定理1(函数极限的唯一性)定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0),那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00xUxAxfxxo$==.1)(1)(-AxfAxf.);()(0内有界在即xUxfo定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0),而且A0(或A0),那么对任何正数rA(或r-A),在x0的某一去心邻域内,有f(x)r0(或f(x)-r0)证明);(,0,),A,0(,00xUxrArA$-=使得则取设.)(rAxf=-有.0的情形类似可证对于r•推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且f(x)A(xx0),那么A0(或A0)定理4(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx则内有极限都存在且在时如果o,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx==设)1(),(0,0,0101xfAxx--$时有当则)2(.)(0,0202-$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021'-=,)()(-BxgxfA.,2BABA的任意性知由从而定理5(函数极限的迫敛性)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)f(x)h(x)g(x),(2)limf(x)=A,limg(x)=A,那么limh(x)存在,且limh(x)=A证明),(0,0,0101xfAxx，--$时有当按假设.)(0,0202-$Axgxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xgxhxfxx-=,)()()(-AxgxhxfA.)(lim)(0Axh，Axhxx=-即由此得0xx0xx0xx0xx此性质又称为夹逼准则.注意:()()()fxhxgx夹逼定理示意图A.的极限是容易求的与并且键是构造出利用夹逼准则求极限关fgf(x)g(x)与•推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x)•推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理6.极限的四则运算法则00lim(),lim()xxxxfxAgxB==如果那么000(2)lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx=000(1)lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx=0000lim()()(3)lim,lim()0()lim()xxxxxxxxfxfxgxgxgx=其中0xx0xx0xx0xx0xx0xx利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些较复杂的极限例1求解由第一章第3节习题12，知当时有而故由迫敛性得另一方面，当时有综上，我们得到01lim1.xxx=0x111,xxx-0lim(1)1,xx-=01lim1.xxx=111,xxx-01lim1.xxx-=01lim.xxx故由迫敛性又可得0x例2求解由及第一节例4所得的并按四则运算法则有4lim(tan1).xxx-sintancosxxxxx=4limsinsin4xx=22=4limcos,xx=4444limsinlim(tan1)lim1limcosxxxxxxxxx-=-1.4=-例3求极限解对任意正整数k，当时有故111lim.1nxxxnx---1x2311111111111nnxxnxxxxxxxxx------=-----11(1)(1)11kkxxxxxx---=--2311111111limlim()11111nnxxxxnxxxxxxxxx------=-----111lim(1)nkxkxx-==1nkk==(1).2nn=例4证明证任给为使（9）即利用对数函数时的严格增性,只要0lim1(1).xxaa=0（不妨设1),1,xa-11,xa-logxa(1)(1)loglog.axa-于是，令则当时，就有（9）式成立。(1)(1)minlog,log,aa-=-0x（当1)a解例5例3求93lim23--xxx解31lim)3)(3(3lim93lim3323=--=--xxxxxxxxx61)3(lim1lim33==xxx解31lim)3)(3(3lim93lim3323=--=--xxxxxxxxx解31lim)3)(3(3lim93lim3323=--=--xxxxxxxxx61)3(lim1lim33==xxx解先用x3去除分子及分母,然后取极限例6例5求357243lim2323-xxxxx73357243lim357243lim332323=-=-xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=-=-xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=-=-xxxxxxxxxx•讨论•提示有理函数的极限?lim110110=--mmmnnnxbxbxbaxaxa==--mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110==--mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110先用x3去除分子及分母,然后取极限解:例7例6求52123lim232---xxxxx020512123lim52123lim332232==---=---xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232==---=---xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232==---=---xxxxxxxxxxx解当x时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用我们将在下节讨论.例7例8求xxxsinlim(1),唯一性;作业小结(2),局部有界性;(3),局部保号性;(4),保不等式性;(5),迫敛性;P51:1(2)(4)(6)(8),6(6),四则运算法则.