如何判断矩阵的等价-相似-合同？

如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得BPAQB()()rArB(,AB同型,,PQ可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:1PAPB,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果,AB相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知,AB相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):TCACB(C可逆)A与B的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.注:,AB合同,AB等价,AB相似,AB等价,例1011,0101AB等价但不相似在,AB实对称的前提下,,AB相似,AB合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似,哪些合同?111110100000000,001,000,011000000000011ABCD.【解】先看等价：()1,()2,()1,()1rArBrCrD，故,,ACD等价.再看相似：()()()1,()2,rArCrDrB排除B，考虑,,ACD，,AC的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑,AC，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，A相似于对角阵100000000C，从而,AC相似.最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑,CD，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，,CD合同.【例2】判断111111111A,300000000B是否等价，相似,合同,?【解】()()1rArB，二者等价；A为对称阵一定相似于对角阵300000000B；从而A一定合同于对角阵B.