胡不归

化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-1-专题04胡不归问题的求解竞业园闫菲胡不归问题：古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在Ａ地当学徒的小伙子，当他得知在家乡Ｂ地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB（如图），他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来全为，有人告诉小伙子，老人弥留之际还不断喃喃的叨念“胡不归？胡不归？……”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用一下马车，沿驿道先走一程呢？”由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢？若有可能，则有应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯，到家时间最短？分析：∵V驿=2V砂∴S驿的一半与S砂的时间相同构造∠α=30°的直线l过点B作直线l的垂线段BD，交驿道AC与点D，则AEDE21，则点E即为所求。总结：构造直角三角形，转化为“垂线段最短”的问题。化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-2-例1.（2016·江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1,0）、B（0，3）C（2,0）。对称轴与x轴相交于点D。（1）求二次函数关系式及顶点坐标；（2）若P为y轴上一个动点，连接PD，则PDPB21的最小值为；（3）若M（s，t）为抛物线对称轴上一个动点，①若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N共有个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。解：(1)2123xxy顶点839,21（2）分析：关键是如何转化PB的一半，根据上述胡不归问题的分析，只要过点B做一条直线与y轴成30°角，再过点D作垂线段即可。由题意得，∠ABO=30°，所以过点作AB的垂线段，垂足为E，DE即为所求。lAB：33xy433DE(3)①5个②取点F（1,0），连接BF，则△ABF为正三角形△ABF的外接圆圆H交直线21x与N，N1作HG⊥直线21x垂足为G在Rt△HGN中，6392133222GN∴3393363933t化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-3-例2．（2015•山东日照，第22题14分）如图，抛物线nmxxy221与直线321xy交于A，B两点，交x轴与D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下：①P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．②设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？解：（1）325212xxy31BACtan（2）①944,317914,313)36,11(P②AE22与ED的时间相同，过点A作l平行于x轴，过点D作AF⊥l，垂足为F，交AC于点E，故D、E、F三点共线时，用时最短。则点E即为所求。E（2,1）例3：（2015内江27题12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-4-由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==h，∴AB=2OC=h；（3）构造CD21，因为∠A=30°，所以过点C作AE的平行线CP，过点O作OH⊥CP与H，交AC与点D，则有CDDH21，点D即为所求。由垂线段最短可知，ODCD21的最小值为OH=6在Rt△HOC中，34362OC∴直径AB=38例4：（09年北京25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）解：（1）D（3，36）（2）B（6,0）M（0，36）化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-5-lBM：363xy（3）MG21与AG的时间相同，故A、G、H三点共线时，用时最短。过点A作AH⊥BM，垂足为H，交y轴于点G，则点G即为所求。3233:xylAH∴32,0G练习1：抛物线y=x２-2x-3与x轴交于A、B两点，多过点B的直线交抛物线与E，且tan∠EBA=34。一只蚂蚁从Ａ出发以１单位／秒的速度沿直线AD爬到BE上的D处，再以1.25单位/秒的速度沿DE爬至E觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间为。练习2：B（-4,0）C（1,0），以BC为直径作圆M交y轴正半轴于点A，过A、B、C三点作对称轴平行于y轴的抛物线。（1）求A点的坐标（2）求抛物线的解析式（3）P（x，y）为抛物线上一动点，若∠BPC为锐角，求x的取值范围（4）E点为抛物线的顶点，点F从E出发，沿线段EM以速度V1运动到Q后，再以速度V2沿直线向点C运动。若V1：V2=41：4，要使点F从点E到C的用时最短，求Q点坐标。化繁为简以简驭繁居高临下浅入深出-6-练习3：【2016梁溪区二模】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为…（）A．2＋5cmB．2＋6C．4D．32ABCDP