函数周期的常用求法

第1页共7页ｙｘＯ２－－２ｙｘＯ２－－２三角函数周期的常用求法一、公式法对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是||2T，对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是||T．例1函数)23sin(xy的最小正周期是（）Ａ．Ｂ．２Ｃ．－４Ｄ．４解：由公式，得4212T，故选Ｄ．评注：对于函数)sin(xAy或)cos(xAy可直接利用公式2T求得；对于)tan(xAy或)cot(xAy可直接利用公式T求得。二、图像法例２求下列函数的最小正周期①xysin②xysin解：分别作出两个函数的图像知①xysin的周期T②xysin不是周期函数评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决．二、定义法例３求函数xxycossin的最小正周期解：∵2cos()2sin(kxkx＝xxcossin（Zk）第2页共7页∴2k是函数xxycossin的周期．显然2k中最小者是2下面证明2是最小正周期假设2不是xxycossin的最小正周期，则存在T02，使得：)(Txf)cos()sin(TxTx＝xxcossin对Rx恒成立，令0x，则)0(TfTTcossin＝10cos0sincossinTT①但T02，∴1cossinTT②∴①与②矛盾，∴假设不成立，∴2是xxycossin最小正周期．评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(xfTxf出发，设法找出周期T中的最小正数（须用反证法证明）．四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例４求函数xxxy2sin2cossin32的周期解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx∴22T．变式求函数xxy66cossin的最小正周期解：∵y＝)cossin3cossin3()cos(sin4224322xxxxxx＝)4cos1(831)cos(sin)cos(sin31222xxxxx＝x4cos8385∴函数xxy66cossin的最小正周期是242T评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．2、遇到绝对值时，可利用公式2||aa,化去绝对值符号再求周期例5求函数|cos|xy的周期第3页共7页解：∵22cos1cos|cos|2xxxy∴22T．例6求函数|cos||sin|xxy的周期解：∵xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos||sin||cos||sin|22)4cos1(21124cos11xx∴函数|cos||sin|xxy的最小正周期242T．五、最小公倍数法例7求函数ysin3xcos5x=+的最小整周期解：设sin3x、cos5x的最小整周期分别为1T、2T，则12T3，22T5，2T1＝2∴ysin3xcos5x=+的最小整周期为2评注：设()fx与()gx是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T、2T分别是它们的周期，且1T2T，则()fx()gx的最小整周期是1T、2T的最小公倍数．分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数第4页共7页抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(xf，如果对于定义域中的任意x，⑴若满足0)()(bxfaxf（ba），则周期)(2abT；⑵若满足)()(),()(xbfbxfxafaxf（ba），即函数图象有bxax,两条对称轴，则周期)(2abT；⑶若满足1)()(bxfaxf（ba），则周期)(2abT；若满足1)()(bxfaxf（ba），则周期)(2abT；⑷若满足)(1)(1)(bxfbxfaxf（ba），则周期)(4abT.一、函数值之和等于零型，即函数)(xf满足0)()(bxfaxf（ba）对于任意x满足0)()(bxfaxf（ba），即)()(bxfaxf，则])[(])[(])[(])[()2(bbxfabxfbaxfaaxfaxf，即]22)2[()2()2(abaxfbxfaxf，等价于)()22(xfabxf，故函数)(xf的周期)(2abT.例1（05年天津卷16）设函数)(xf是R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1()0(ffffff等于.解析)(xfy的图象关于直线21x对称，则)21()21(xfxf（*），函数)(xf是R上的奇函数，则)21()21(xfxf，（*）式即0)21()21(xfxf，21,21ab，)(xf的周期2)(2abT.在（*）式中令21x可得0)0()1(ff，利用函数的周期为2，则)5()3()1(0)4()2()0(ffffff，因此，0)5()4()3()2()1()0(ffffff.二、函数图象有bxax,（ba）两条对称轴型函数图象有bxax,两条对称轴，即)()(),()(xbfbxfxafaxf，改写为)2()]([)]([)()(abxfbaxbfbaxbfxafaxf，即第5页共7页]22)[()(abaxfaxf，等价于)()22(xfabxf，周期)(2abT.例2（05年广东卷19）函数)(xf在),(上满足关系式)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(ff.（1）判断函数)(xfy的奇偶性；（2）求方程0)(xf在闭区间]2005,2005[上根的个数，并证明你的结论.解析函数)(xf满足)7()7(),2()2(xfxfxfxf（*），则)(xf的图象有7,2xx两条对称轴，)(xf在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(ff，而0)0(f，0)7(f，故函数)(xf不是奇函数；由对称性和0)3()1(ff得0)13()11(ff，且0)9()7(ff，由0)7(f而0)7(f可得函数)(xf不是偶函数；因此函数)(xfy是非奇非偶函数.由（*）式还可以表示为)14()(),4()(xfxfxfxf，由)14()4(xfxf可知函数)(xf的周期10T（或直接利用上面的结论7,2ba，10)(2abT）.)(xf在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(ff，0)13()11(ff，0)9()7(ff，且周期10T，故方程0)(xf在闭区间]10,0[和]0,10[上都有两个解（分别为3,1和9,7），从而方程0)(xf在闭区间]2005,0[上有402个解，在闭区间]0,2005[上有400个解，从而方程0)(xf在闭区间]2005,2005[上根的个数为802个.三、两个函数值之积等于1，即函数值互为倒数或负倒数型若1)()(bxfaxf，显然0)(,0)(bxfaxf，则)(1)(bxfaxf，即])[(1])[(1])[(abxfbaxfaaxf，而])[(1])[(bbxfabxf，因此]22)2[(])[(])[(1])[(abaxfbbxfabxfaaxf，即]22)2[()2(abaxfaxf，函数)(xf的周期)(2abT；同理可证，若函数第6页共7页)(xf满足1)()(bxfaxf（ba），则周期)(2abT.例3已知函数)(xf是R上的偶函数，且1)()2(xfxf，0)(xf恒成立，则)119(f的值等于.解析由1)()2(xfxf可知)()2(1)4(xfxfxf，函数)(xf的周期为4，)1()1120()119(fff，函数)(xf是R上的偶函数且0)(xf，则)1()1(ff，在1)()2(xfxf中，令1x得1)1()1()1(2fff，1)1(f，1)119(f.四、分式型，即函数)(xf满足)(1)(1)(bxfbxfaxf（ba）由)(1)(1)(bxfbxfaxf（ba），则)(1)(1)(baxfbaxfaaxf（*），])[(1])[(1])[()(bbxfbbxfabxfbaxf，代入（*）式得)2(1)2(bxfaxf，即1)2()2(bxfaxf，由上面的类型三，求出周期)(4abT.例4．已知函数)(xf在),(上满足关系式)(1)(1)2(xfxfxf.若32)1(f，则)2005(f等于.解析由题意)2(1)2(1)22(xfxfxf（*），将)(1)(1)2(xfxfxf代入（*）式整理得)(1)4(xfxf，所以)()4(1)8(xfxfxf，函数)(xf的周期为8，)5()58250()2005(fff，23321)1(1)41()5(fff，23)2005(f.设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例：例5已知定义在),(上的奇函数)(xf满足关系式)(1)(1)1(xfxfxf.当第7页共7页10x时，xxf2)(，则)5.5(f的值等于（）A．1B．1C．21D．21不少资料选入此题，并给出答案为1)5.5(f，提示思路是：)(1)(1)1(xfxfxf，则)1(1)1(1)2(xfxfxf，将)(1)(1)1(xfxfxf代入可得)()2(xfxf，周期为2，则1)5.0()5.0()5.5(fff.显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则0)5.0(1)5.0(1)5.1()5.5(ffff.这样，1)5.5(f与0)5.5(f都成立，就不是单值函数了，即)(xf根本不是函数！该“函数”的问题还可以这样来得出：函数)(xf是),(上的奇函数，则0)0(f，根据)(1)(1)1(xfxfxf，令0x则1)1(f，1)1(f，但)(xf的周期为2，必定满足)1()1()1(fff，则0)1()1(ff，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.