晶体弹性常数矩阵的推导

[e-mail]1晶体的弹性性质Ø应力、应变张量，虎克定律Ø弹性常数与对称性Ø弹性波在晶体中传播[e-mail]2压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性程度不一样，或者说独立的弹性常数的数目与晶体的对称性有关。[e-mail]3形变deformation在外力作用下，物体的大小和形状都要发生变化，通常称为形变。当讨论物体的转动和移动时，形变对运动物体的影响很小，是次要问题，一般可以忽略不计。当讨论振动的传播或压电效应等问题时，形变就成了重要问题，需要进行深入的讨论和研究。[e-mail]4塑性和弹性PlasticandElastic如果外力撤消后，物体不能恢复原状，这种性质就称为物体的塑性；如果外力撤消后，物体能恢复原状，这种性质就称为物体的弹性。自然界不存在完全的弹性体，也不存在完全的塑性体；只存在既有弹性又有塑性的物体。当外力较小时，形变也小，外力撤消后，形变消失，物体恢复原状；当外力较大时，外力撤消后，物体不能恢复原状。可见物体的弹性有一定的限度，超过这个限度就成为塑性。与压电有关的问题，都属于弹性范围内的问题，[e-mail]5应力、应变应变张量:straintensor晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的位置矢量来描述，它的三个分量为x1、x2、x3。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r，形变后为r’（其分量为x’1、x’2、x’3），由于形变这一点的位移可以用位置矢衣来表示：r'r-=[e-mail]6当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生变化，设最近邻的两点形变前的距离为dl（分量为dxi），形变后的距离为dl’（分量为dx’i），因为dx’i=dxi+dxi，而å=¶x¶=[e-mail]7于是:()()()()()()()()()233322222111223332322222221112131k2kk2dddx2dddx2dddx2)dl(dddx2dxdddx2dxdddx2dx)ddx()'dl(x+x+x+x+x+x+==x+x+++x+x++x+x+==x+=å=[e-mail]8利用以下关系：333223113333222211223312211111dxxdxxdxxddxxdxxdxxddxxdxxdxxd¶x¶+¶x¶+¶x¶=x¶x¶+¶x¶+¶x¶=x¶x¶+¶x¶+¶x¶=[e-mail]9于是有:23332231133332231133233222211233222211222331221111331221111122dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2)dl()'dl(÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+÷÷øöççèæ¶x¶+¶x¶+¶x¶+=[e-mail]10最后可得到形变前后距离的变化为:其中张量eik由下式给出:åå==+=x+=31k,ikiik231k2kk2dxdxe2)dl()ddx()'dl()xxxx(21e31jijkjikkiikå=¶x¶¶x¶+¶x¶+¶x¶=[e-mail]11该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。例如（¶xi/¶xk），当i=k时，代表伸缩应变（纵向应变），而当i¹k时，代表切应变（横向应变）。一般称eik为应变张量元。从上式直接可以看出eik=eki，即应变张量是对称的。[e-mail]12在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：)3,2,1k,i(),xx(21eikkiik=¶x¶+¶x¶=[e-mail]13应变张量元的矩阵形式÷÷÷øöçççèæ=332313232212131211eeeeeeeeee二级对称的张量，有六个独立元素[e-mail]14如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量；u、v、w代表位移矢量x的三个分量；那么这六个张量元可写成为：zz3333yy2222xx1111ezwxeeyvxeexuxe=¶¶=¶x¶==¶¶=¶x¶==¶¶=¶x¶=xy211212zz133131yz322323e)yuxv(21)xx(21ee)xwzu(21)xx(21ee)zvyw(21)xx(21e=¶¶+¶¶=¶x¶+¶x¶==¶¶+¶¶=¶x¶+¶x¶==¶¶+¶¶=¶x¶+¶x¶=[e-mail]15应变张量元的几何意义zz'zeyy'yexx'xezzyyxxDD-D=DD-D=DD-D=正应变[e-mail]16体积元的体积改变量：V)eee(VV)e1)(e1)(e1(V'VzzyyxxzzyyxxD++=D-D---=D-D由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：zzyyxxeeeVV'V++=DD-D=[e-mail]17切应变shear由于发生切应变，原来的正方形变成了菱形，它的边长不改变切应变exy=(¶v/¶x+¶u/¶y)/2的几何意义[e-mail]18由于切变A®A’，B®B’，C®C’，D®D’，图中u、v代表A点位移的分量，令AD=A’D’=Dx，AB=A’B’=Dy，则：2211yu)tan(;xv)tan(q»DD=qq»DD=q所以exy=(¶v/¶x+¶u/¶y)/2=(q1+q2)/[e-mail]19由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用Sl代表张量元，用一个新的足标l=1、2、…、6来代替原来的足标，其对应关系如下：[e-mail]20应力张量stresstensor在没有形变的固体中，分子的排列是处于热平衡状态，作用在固体中任意一部分的合力都等于零。如果固体有形变，那么它就不再处于原来的平衡态，而会受到力的作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋向。[e-mail]21这种在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力称为应力。应力是一个二级张量，其各个分量为sxx、syy、szz、syz、szy、sxy、syx、sxz、szx。为此我们也把应力称为应力张量。张量元的前一个足标代表应力的方向，后一个足标代表应力所作用面的法线方向。[e-mail]22作用在立方体上的应力张量元[e-mail]23例如，作用在垂直于x轴的单位面积上沿x方向的应力是sxx，这类应力是垂直于表面的，代表张力或压力；作用在垂直于x轴的单位面积上沿y方向的应力是syx，这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。[e-mail]24内应力作用在物体上的总力矩等于零，因此，存在如下关系：yxxyzxxzzyyz,,s=ss=ss=súúúûùêêêëé=333231232221131211sssssssssT应力张量：[e-mail]25654321单角标123123332211双脚标xyzxyzzzyyxx角标单、双脚标之间的对应关系[e-mail]26应力张量也是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元素。所以对于晶体，也常常把应力张量写成一个纵列矩阵，以Tl（l=1、2、…、6）来表示，其对应关系为：T1T2T3T4T5T6sxxsyyszzsyzszxsxy应力张量和应变张量的情况有一点不同，当l=4、5、6时，Tl=sij，而Sl=2cij（i¹j）。[e-mail]27作用在体积元上DxDyDz的力与应力张量元sij之间的关系。如图所示，沿x方向力的分量有三个:[e-mail]28所以作用在体积元DxDyDz上力的x分量为：xy]zz[xy)]z()zz([zx]yy[zx)]y()yy([zy]xx[zy)]x()xx([xzxzxzxyxyxyxxxxxxDDD¶s¶=DDs-D+sDDD¶s¶=DDs-D+sDDD¶s¶=DDs-D+szyx]zyx[xzxyxxDDD¶s¶+¶s¶+¶s¶[e-mail]29作用在单位体积上力的x量为：zyxfxzxyxxx¶s¶+¶s¶+¶s¶=同理：zyxyfyzyyyxy¶s¶+¶s¶+¶s¶=zyxfzzzyzxz¶s¶+¶s¶+¶s¶=以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方程时将会用到。[e-mail]30胡克定律Hook’slaw对于足够小的形变，应变与应力成正比，因此应变分量是应力分量的线性函数，这一规律称为胡克定律，写成矩阵形式为:÷÷÷÷÷÷÷÷øöççççççççèæ÷÷÷÷÷÷÷÷øöççççççççèæ=÷÷÷÷÷÷÷÷øöççççççççèæ654321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131[e-mail]31弹性柔顺常数compliance弹性柔顺常数的物理意义:s11=(¶S1/¶T1)Tk，当其它应力分量Tk(k¹1)为常数（或Tk=0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s11只与x方向的伸缩应力T1和伸缩应变S1有关。[e-mail]32s12=(¶S1/¶T2)Tk，当其它应力分量Tk(k¹2)为常数（或Tk=0）时，由于沿y方向的伸缩应力T2的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T2的改变成正比。或s12=(¶S2/¶T1)Tk，当其它应力分量Tk(k¹1)为常数（或Tk=0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起y方向伸缩应变S2的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s12为与y方向的伸缩应力T2和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和y方向的伸缩应变S2有关的弹性柔顺常数。[e-mail]33s14=(¶S1/¶T4)Tk，当其它应力分量Tk(k¹4)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x方向伸缩应变S1的改变与切应力T4的改变之比（x面即yz平面）。或s14=(¶S4/¶T1)Tk，当其它应力分量Tk(k¹1)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的伸缩力T1的改变引起x面上伸切应变S4的改变与伸缩应力T1的改变之比。可见s14为与x面上的切应力T4和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和x面上的切应变S4有关的弹性柔顺常数。[e-mail]34s44=(¶S4/¶T4)Tk，当其它应力分量Tk(k¹4)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x面上切应变S4的改变与切应力T4的改变之比。可见s44只与x面上的切应力T4和切应变S4有关的弹性柔顺常数。其它弹性常数所代表的意义与s11、s12、s14和s44类似。[e-mail]35矩阵形式的胡克定律还可写为6