第一章开口薄壁杆件的弯曲与扭转

《薄壁杆件力学》同济大学建筑工程系钢与轻型结构研究室周锋[e-mail]15800660849土木工程专业基础课程。在材料力学、结构力学课程的基础上，掌握薄壁杆件结构问题的受力分析和计算方法。为学习钢结构、桥梁工程等专业课程中有关薄壁杆件结构问题的分析和设计提供必要的理论基础。课程性质与目的掌握断面无畸变前提下开口、闭口薄壁杆件受弯曲剪切时、受扭转时的变形与断面内力素及应力分布的确定方法。掌握开口、单室闭口薄壁断面的各项几何性质的应用。熟悉开口薄壁杆系中简单结构的内力分析方法。熟悉常用开口、单室闭口薄壁断面的扭心位置及其受弯曲剪切时、受扭转时的应力计算。课程的基本要求第一章开口薄壁杆件的弯曲与扭转1-0概述1-1开口薄壁断面的弯曲剪应力及剪力中心1-2开口薄壁杆自由扭转1-3开口薄壁断面的扇性几何性质1-4开口薄壁杆约束扭转的应力分析1-5约束扭矩与双力矩1-6扭角的微分方程及其解本章主要内容1-0概述薄壁杆件中三个尺度l,b,d满足下列关系：10/db10/bl薄壁，常用壁中线代表断面杆件薄壁杆件由若干长薄板组成。薄壁截面视其轮廓线是否封闭又分为：开口截面和闭口截面（a）开口截面（b）闭口截面薄壁杆件工程实例薄壁杆件工程实例薄壁杆件工程实例薄壁杆件工程实例薄壁杆件工程实例•薄壁杆件在实际工程应用很多，如桥梁工程和海洋工程中的箱形、工字形和槽形梁柱，土木工程中的各种型钢，高层建筑中的钢筋混凝土核心墙，以及航空工业中的机翼构件，造船工业中的船体构件。•薄壁杆件计算理论是20世纪40年代以后逐步发展起来的一个力学分支。•掌握薄壁杆件受力（弯剪、扭）变形的主要特点，采用的基本假定，满足工程需要的理论体系。1-1开口薄壁断面的弯曲剪应力及剪力中心１.弯曲剪应力分布等截面开口薄壁杆：只弯不扭，小变形，线弹性，平截面假定x、y，z=形心主轴，断面形心连线，右手法则；Mx，My=绕x轴、y轴的弯矩，分别使断面上正号坐标处受拉者为正；Vx，Vy=沿x轴、y轴的剪力，与坐标轴正方向相同的为正。取一微元：弯矩和剪力的力学关系：yxVdzdMxyVdzdM微元平衡条件：0tstz弯曲作用下正应力：xIMyIMyyxx材料力学推导此公式时的假定？(1)(2)(2)代入(1)，沿壁中线积分：txtdsIVytdsIVtsyxsxy000截面自由壁端的剪应力为0，积分点选此点00薄壁杆件在弯曲作用下，剪应力分布特点：1.壁厚较小，可近视看作剪应力沿壁厚均匀分布。2.剪力流分布规律仅取决于断面的静矩Sy,Sx，分布形式与静矩图形相同。yyxxxyISVISVtsq)(整理，得：sxytdsS0syxtdsS0Sx,Sy为该点处一侧断面面积对主轴x和y的静矩。说明:公式推导中，剪应力的方向与壁中线s走向相同，故剪应力计算值为正，表示剪力流方向与壁中线走向一致，为负表示剪力流方向与壁中线走向相反。多壁汇交点断面，采用二个以上的起始点作积分点，汇合到结点后，利用节点平衡条件，循最后一个支路往下推算。例题1：求图例题1(a)所示等厚薄壁断面在水平剪力Vx作用下的剪力流分布，已知在此剪力作用下断面只弯不扭。解:利用公式①求解断面的形心主轴(断面的对称轴＝端面的形心主轴)VxyyxISVtsq)(②Sy,Iy的求解可以利用坐标x图（图c）③Iy的计算利用图乘法（坐标x图自乘）求解④Sy的计算，因壁厚t为常数，积分可以计以x图的面积tdtdddddIy3334531231222(2)(3下)(3右)(3左)(5)(6右)(6左)(6下)(8)1/85/83/819/81-3/85/81/8Sy(×d2t)q(s)图(×d2t.Vx/Iy)例题2：求图例题2(a)所示等厚薄壁断面在竖向剪力作用下的剪力流分布，已知在此剪力作用下断面只弯不扭。解:利用公式①求解断面的形心主轴(断面的对称轴＝端面的形心主轴)VyxxyISVtsq)(②Sx,Ix的求解可以利用坐标y图（图c）③Sy的计算，因壁厚t为常数，积分可以计以x图的面积(2)(3下)(3右)(3左)(5)(6右)(6左)(6下)(8)Sx(×d2t)3/104/10-2/102/100-2/102/104/103/10123456789q(s)图(×d2t.Vy/Ix)2.剪力中心断面剪力流的合力Vx和Vy作用线分别平行于x和y轴，两线交点为断面的剪力中心。不论外剪力的作用方向如何，只要通过此点，就符合只弯无扭的平衡条件。故剪力中心也称为“弯曲中心”剪力中心求法：合力矩定理，分力对某点力矩之和=合力对某点力矩。断面剪力流的合力作用线位置仅由断面的几何形状所决定，故断面的剪力中心仅决定于断面的几何形状。例题3：求图例题1(a)所示等厚薄壁断面的剪力中心。解:利用合力矩定理求解①求水平剪力Vx作用线位置（剪力中心纵坐标），利用例题1的结果②求竖向剪力Vy作用线位置（剪力中心横坐标），利用例题2的结果①剪力中心纵坐标:假设剪力中心在点6上方,距离为e(6)②剪力中心横坐标:由剪力Vy引起的剪力流分布对称于y轴，其合力作用线必与y轴重合，即ex=0yxyxxIVtdddIVtdddeV228581281231263/6de剪力中心位置仅决定于断面形状d/3剪力中心是薄壁断面的几何性质——数学证明证明:设x、y轴为任意开口端面的形心主轴，C点为形心①剪力中心纵坐标：②剪力中心横坐标：slslyyxxsxrdsISVrdstyVslslxxyysyrdsISVrdstxVslyysrdsSIy1slxxsrdsSIx13.扭转中心剪力中心（弯曲中心）：不论外剪力的作用方向如何，只要通过此点，就符合只弯无扭的平衡条件。虚功原理中的位移互等定理剪力中心与扭转中心重合断面在不通过剪心轴的荷载作用下的问题（弯扭耦合）可以被分解为单独的两部分（弯+扭）：1）过剪心的荷载作用下的杆件弯曲问题；2）扭矩作用下的杆件扭转问题作业1：求下图所示冷弯槽钢的剪力中心,厚度为常数t。2dd作业2：求下图所示工字钢的剪力中心,厚度为常数t。1-2开口薄壁杆的自由扭转扭转横截面变形后保持为平面，在原地转过了一个角度。试验现象pqpqeMeMpqpq圆形截面（复习材料力学内容）——平面假设扭转1.横截面发生凹凸变形，而不再保持平面。试验现象非圆截面（本节课重点学习内容）——断面翘曲2.横截面的周边在原平面的投影不变形。——刚周边假定自由扭转和约束扭转没有，只有。既有，也有。自由扭转约束扭转各断面翘曲相同，纵向纤维不产生应变各断面翘曲不同，纵向纤维产生应变1.狭条断面杆的自由扭转剪应力分布一般断面自由扭转下剪应力分布（角点、形心、长短边中点）狭条断面杆：沿厚度反对称的线性分布厚度边缘剪应力最大max1.狭条断面杆的自由扭转剪应力qq厚度内，剪应力合成剪力流221maxtq相距2t/3沿短边方向：相同剪力流，相距=b近似分析btqtbqMt)32.(32).(3/.3maxbttMtxxIyM.max3/3btIt类似定义自由扭转的抗扭常数（圣维南扭转常数）It