数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序

矩阵的特征值与特征向量计算矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法矩阵的特征值与特征向量计算THECALCULATIONSOFEIGENVALUEANDEIGENVECTOROFMATRIXABSTRACTPhysics,mechanics,engineeringtechnologyinalotofproblemsinmathematicsareattributedtomatrixeigenvalueproblem,suchasvibration(vibrationofthebridge,mechanicalvibration,electromagneticvibration,etc.)inphysics,somecriticalvaluesdetermineproblemsandtheoreticalphysicsinsomeoftheproblems.Matrixeigenvaluecalculationisaveryimportantpartinmatrixcomputation.Inthispaper,weusethepowermethodandinversepowermethodtocalculatethemaximumofthematrix,accordingtotheminimumcharacteristicvectorandthecorrespondingcharacteristicvalue.Powermethodisaniterativemethodtocalculatetheeigenvaluesofamatrix.Ithastheadvantagethatthemethodissimpleandsuitableforsparsematrices,butsometimestheconvergencerateisveryslow.Thebasicideaistotakeanon-zeroinitialvector.Constructavectorsequencefromthematrixofthematrix.Thentheeigenvaluesandeigenvectorsareobtainedbyusingtheconstructedvectorsequence.Theinversepowermethodisusedtocalculatetheminimumfeaturevectorsandtheireigenvaluesofthematrix,andtocalculatetheeigenvaluesofthematrix.Inthispaper,weusetheinversepowermethodtocalculatetheminimumeigenvalueofamatrixanditscorrespondingeigenvalues.Thebasicideaofcalculatingtheminimumcharacteristicvectorofamatrixistotransformittothemaximumcharacteristicvectorofthemodulusoftheinversematrix.Then,accordingtothemodel,theminimumfeaturevectoroftheoriginalmatrixisintroduced.Keywords:Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iterationmethods;矩阵的特征值与特征向量计算目录1引言............................................................12相关定理。......................................................13符号说明........................................................24冥法及反冥法....................................................24.1冥法.........................................................34.2反冥法.......................................................85QR算法.........................................................14参考文献.........................................................18附录............................................................19矩阵的特征值与特征向量计算第1页共24页1引言在本论文中，我们主要讨论矩阵的特征值和特征向量的计算，我们知道，有很多现实中的问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算的知识，比如，在物理、力学和工程技术方面有很多的应用，并且发挥着极其重要的作用.因为这些问题都可归结为求矩阵特征值的问题，具体到一些具体问题，如振动问题，物理中某些临界值的确定问题以及一些理论物理中的问题.在本论文中，我们主要介绍求矩阵的特征值与特征向量的一些原理和方法，原理涉及高得代数中矩阵的相关定理，方法主要介绍冥法及反冥法并利用MATLAB算法的程序来求解相关问题，加以验证.2相关定理定理2.1如果i),...,2,1(ni是矩阵A的特征值，则有trAaniiinii111o.det221nAo定理2.2设A与B为相似矩阵)(1ATTB，则o1A与B有相同的特征值；o2若x是B的一个特征向量，则Tx是A的特征向量定理2.3设nnijaA)(，则A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中：).,...,2,1(1niaaijjijij矩阵的特征值与特征向量计算第2页共24页定义2.1设A是n阶是对称矩阵，对于任意非零向量x，称xxxAxxR,),()(为对应于向量x的Rayleigh商.定理2.4设nnRA为对称矩阵（其特征值次序记作n21，对应的特征向量nxxx,,21组成规范化正交组，即ijjxx),(），则1),(),(1xxxAxno（对于任何非零向量x）；;),(),(max21xxxAxoxRxno.),(),(min30xxxAxxRxnno3符号说明A:n阶矩阵B:n阶矩阵I：n阶单位阵i),...,2,1(ni:矩阵特征值x:实数域上的n维向量),1,0(nivi：实数域上的n维向量),,,1,0(nkuk：实属上的规范化向量4冥法及反冥法4.1冥法幂法是一种计算矩阵AnnR的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，矩阵的特征值与特征向量计算第3页共24页适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值.设nnRaijA)(，其特征值为i，对应特征向量为),,,1(nixi即iiixAx),,1(ni且},{,nixx线性无关.设A特征值满足：（即1为强占优）||||||21n（4.1.1）幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量nRv0，由矩阵A的乘幂构造一向量序列011021201vAAvvvAAvvAvvkkk(4.1.2)称}{kv为迭代向量.下面来分折关系与及}{11kvx.由设},,{1nxx为nR中一个基本，于是，00v有展开式niiixav10（且设01）且有ikiniiKkkxvAAvv101))()((12221111nknnkkkxxxv)(111kkxa由假设（4.1.1）式,则),,2(0)(1niimik即0limkk(4.1.3)矩阵的特征值与特征向量计算第4页共24页且收敛速度由比值||12r确定.且有111limxvkkk这说明，当k充分大时，有111/xvkk，或kkv1/越来越接近特征向量11x.下面考虑主特征值1的计算.用ikv)(表示kv的第i个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值.)0)((,)()()()()()(1111111ikikiikiikikvxxvv设从而是111)()(limikkkvv(4.1.5)说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征1,且收敛速度由比值||12r来度量,r越小收敛越快,但r越小收敛越快,但1||12r,而接近于1时,收敛可能很慢.定理4.1（1）设nnRAn个线性无关的特征向量：（2）设A特征值满足||||||21n（3）幂法：)0(010且v1kkAvv,2,1(k）则（1）111)()(limxvvikikk；（2）11)()(limikikkvv如果A主特征值为实的重根，即有||||||||||121nrr（4．1.4）矩阵的特征值与特征向量计算第5页共24页又设A有n个线性无关的特征向量，,,2,1,nxxx其中),,1(),,,1(1nrixAxrixAxiiiii对于任意初始向量),,(10不全为零且riniiixv则由幂法有rinriikiiiiikKkxxvAv1110)()(11kiriikx且有,lim11iriikkkxv（设r,1不全为零）)0(kk当由此，当k充分大时，kkv1/接近于与1对应的特征向量的某个线性组合.应用幂法计算A的主特征值1及对应的特征向量时，如果11(11或），迭代向量的各个不等于零的分量将随k而趋于无究（或趋于零），这样电算时就可能溢出.为此，就南非要将迭代向量加以规范化.设有非零向量)()max(2等或归范化vvuvvuv其中)max(v表示向量v绝对值最大的元素，即如果有草药,)(max)(0iviv则0)()max(ivv其中0i为所有绝对值最大的分量中最小指标.显然有下面性性质：设nrvt,为实数，则)max()max(vttv矩阵的特征值与特征向量计算第6页共24页在定理4.1条件下幂法可改进为：任取初始向量)0(0100且vu.迭代：规范化：01Auv，)max(111vvu)max(00AvAv,)max(00212AvvAAuv)max()max(002222vAvAvvuk,)max(0101vAvAAuvkkk