17北京版小五奥数教材课程十七、钟表中的数学

课程十七钟表中的数学学习目标1.了解时钟内在规律2.时针与分针的关系重点钟面有一个360°的周角，所以1个小格是6°，1个大格是30°，即分针旋转一周，时针旋转30°；分针旋转6°，时针旋转0.5°。钟面的一周分为60个小格，每5个小格为1个大格，当分针走一周60个小格时，时针正好走5个小格（也就是1个大格即1时），所以时针的速度是分针的（5÷60=），也就是分针走1个小格，时针走小格。根据追及问题，分针每走60÷（1-）=61（分）与时针重合一次，其中1-为分针每分比时针多走的格数。总结时钟问题是研究钟面上的时针与分针的关系问题，如果不充分了解时钟的内在规律，对“时钟”类型的应用题往往感到棘手，只有掌握了时钟的这些规律，时钟问题才能迎刃而解。例14时15分时，钟面上时针与分针的夹角是多少度？分析与解法4时15分,分针指着3，但时针的位置很难确定，所以我们从4时整考虑。4时整时，时针指着4，过15分，分针走了15个小格，时针从4开始顺时针方向旋转了（15×=）个小格，即6×=7.5°时针位置确定后就可求解。解：6×5+6×（15×）=37.5°答：4时15分时钟面上时针与分针的夹角是37.5°说明：解钟表问题往往以时针或分针为主，进而考虑两者的相对位置。例2在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？分析与解法分两种情况进行讨论①在顺时针方向上分针与时针成270°角在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针比时针多走（1-）个格，因此由基本公式，到达这一时刻所用的时间为：5÷（1-）=5（分钟）.②在顺时针方向上分针与时针成90°角：在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：35÷（1-）=38（分钟）.解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：[5×10-60×（270÷360）]÷（1-）=5（分钟）.②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：[5×10-60×（90÷360）]÷（1-）=38（分钟）.所求时刻为10点5分和10点38分。例3在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？分析与解法分两种情况进行讨论：①分针与时针的夹角为180°角：当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（1-）个格，因此，到达这一时刻所用的时间为：15÷（1-）=16（分钟）.②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷（1-）=49（分钟）解：①当分针与时针的夹角为180°角时：［5×9-60×（180÷360）］÷（1-）=16（分钟）②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时：5×9÷（1-）=49（分钟）.答：所求时刻为9点16分和9点49分。例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间?分析与解法要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻.①小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7=35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个）格，则这一段时间为：5÷（1-）=5（分钟）.所以小明开始解题时是7点5分.②小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7=35（个）格，因此这一段时间为：35÷（1-）=38（分钟）.所以小明解题结束时是7点38分.这样小明解题所用的时间就可以求出来了。解：先求小明开始解题的时刻：[5×7-60×（180÷360）]÷（1-）=5（分钟），所以小明开始解题时是7点5分.再求小明结束解题的时刻：5×7÷（1-）=38（分钟），所以小明结束解题时是7点38分.最后求小明解题所用的时间：7点38分-7点5分=38（分钟）答：小明解题共用了38分钟。例5一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？分析与解法由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：①先设此时是4点多：4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于时针的速度是分针的所以从4点整到上图（a）钟面上这种状态共用了：30÷（1+）=27（分钟）。所以这时是4点27分②再设此时是5点多：5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，从5点整到图（b）钟面上这种状态共用了25÷（1+）=23（分钟）所以此时是5点23分.解：①如果此时是4点多，则从4点整到上页图（a）钟面上这种状态共用：30÷（1+）=27（分钟）.②如果此时是5点多，则从5点整到上图（b）钟面上这种状态共用：25÷（1+）=23（分钟）.因此，这时可以是4点27分，也可以是5点23分.练习1.在6点和7点之间，两针什么时刻重合？2.现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？3.2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？4.在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？5.在10点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？6．李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟.8小时工作后夜里11点下班，李叔叔回到家里，一看钟才9点整，假定他上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？练习答案1.在6点整时，分针落后时针5×6=30（个）格，到分针与时针重合时，分针要比时针多走30个格，而每分钟分针比时针多走（1-）个格，所以到达这一时刻所用的时间为：30÷（1-）=32（分钟）.因此所求的时刻为6点32分.答：在6点32分时分针与时针重合.2.在2点整时，分针落后时针5×2=10（个）格，到分针与时针重合时，分针要比时针多走10个格，所以到达这一时刻所用的时间为：10÷（1-）=10（分钟），因为1015，所以2点10分不是所求的时刻.现在看3点整时，分针落后时针5×3=15（个）格，到分针与时针重合针时，分针要比时针多走15个格，这样到达这一时刻所用的时间为：15÷（1-）=16（分钟）.所以在3点16分时两针第一次重合，所用的时间为：3点16分-2点15分=61.答：再过61分钟，分针与时针第一次重合。3.在2点整时，分针落后时针5×2=10（个）格，当分针与时针第一次成直角时，分针超过时针60×（90÷360）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：25÷（1-）=27（分钟），所求的时刻为2点27分.答：在2点27分时，分针与时针第一次成直角.4.①当分针落后时针而与时针成120°角时：当分针落后时针而与时针成120°角时，分针落后时针60×（120÷360）=20（个）格，而7点整时分针落后时针5×7=35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35-20=15（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：15÷（1-）=16（分钟）.因此，在7点16分时，两针之间的夹角为120°.②当分针超过时针而与时针成120°角时：当分针超过时针而与时针成120°角时，分针超过时针20格，而7点整时分针落后时针35格，因此在这段时间内分针要比时针多走35+20=55（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：55÷（1-）=60（分钟）.因此，在7点60分即8点整时，两针之间的夹角为120°.答：在7点16分与8点整时，两针之间的夹角为120°.5.①当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而10点整时分针落后6.解法1：依题意，钟停的时间与上班路上用的时间之和为：14点50分-12点10分=160（分钟）.钟停的时间与下班路上用的时间之差为：11点-9点=120（分钟）；因此钟停的时间是：（160+120）÷2=140（分钟）.答：李叔叔家的钟停了140分钟.解法2：李叔叔在12点10分上足发条，到回家时的9点钟，共8小时50分.这8小时50分钟扣除早到的10分钟及工作的8小时，余40分钟，这是来回路上用的时间.因此路上单程要花40÷2=20（分钟）.李叔叔到厂的时间是2点50分，扣除路上的20分钟，离家的时间是2点30分，而他家的钟面上却是12点10分，中间相差2小时20分.这2小时20分即140分钟就是他家钟停了的时间.答：李叔叔家的时钟停了140分钟。