导数在函数中的应用——题型总结

1导数在函数中的应用一.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若()fx0，则函数)(xfy在这个区间内单调递增；若()fx0,则函数)(xfy在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在0x附近的左侧()fx0，右侧()fx0，且()fx=0，那么0()fx是极大值；（2）极小值：如果在0x附近的左侧()fx0，右侧()fx0，且()fx=0，那么0()fx是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数)(xfy在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数)(xfy的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数)(xfy在区间[a,b]上最大值与最小值的步骤：①求函数)(xfy在区间（a,b）内的极值；②将函数)(xfy的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2.(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．2二.题型训练题型一求曲线切线的方程例1.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．变式1.曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是()A．x－y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x－2y＋2＝02.直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b的值为()A．－4B．－1C．3D．－2题型二.求函数的单调区间例2.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．练习：1.设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．2.已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13，且函数f(x)在0，12上不存在极值点，求a的取值范围．3题型三.分类讨论求函数的单调区间例3.已知函数f(x)＝x2＋ax＋blnx(x0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＋b＝－2，讨论函数f(x)的单调性．练习：1.已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx＋2a＋2，其中a≤2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．2.已知a∈R，函数3()42fxxaxa（1）求()fx的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，()fx+2a＞0.43.设函数xfxeax2－－(Ⅰ)求fx的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x0时，xkfxx10'，求k的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．题型四.单调性的逆用例4.已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．练习：1.已知函数f(x)＝(x＋a)2－7blnx＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当b＝47a2时，讨论f(x)的单调性．52.若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在12，＋∞上是增函数，则a的取值范围是()A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)3.函数f(x)＝13x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________．4.已知函数f（x）=3213xxaxb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+1mx是[2,]上的增函数，求实数m的最大。5.已知函数)0(ln1)(axaxxxf（1）若函数)(xf在),1[上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当1a时，求)(xf在]2,21[上的最大值和最小值.6题型五.求函数的极值、最值例5.已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c（1）求a、b的值；（2）若()fx有极大值28，求()fx在[3,3]上的最大值．练习：1.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．2.已知ab，是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．73.已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．4.已知函数f(x)＝ax－2x－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点(23，f(23))处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在[32，3]上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．8题型六.导数与方程例6.设a为实数，函数32()fxxxxa（1）求()fx极值（2）求()fx与x轴只有一个交点时a的取值范围变式：若与x轴有2个交点时a的取值范围？练习：1.设函数Rxxxxf,56)(3（Ⅰ）求)(xf的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程axf)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.（Ⅲ）已知当)1()(,),1(xkxfx时恒成立，求实数k的取值范围.92.已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23在区间且xfkxxgxkxxf上为增函数.（1）求k的取值范围；（2）若函数)()(xgxf与的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.3.已知函数f（x）=xlnx，(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数；4.已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．题型七.利用导数证明不等式10例7.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.练习：1.已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.2.已知函数(x)1xxefxe.证明：0(x)1f；3.已知1lnaxxxf11（1）若存在,0x使得()fx≥0成立，求a的范围（2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下，21ln212xxaaxx成立题型八.恒成立问题例8.已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值．(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．练习：121.已知函数f(x)＝alnx＋1x(a0)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知对任意的x0，ax(2－lnx)≤1恒成立，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞1ex－2ex.3.已知函数f(x)＝axlnx图像上点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行(其中e为自然对数的底数)，13g(x)＝x2－tx－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n0)上的最小值；(3)若对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．题型九.存在性任意性问题例9.已知函数f(x)＝axx2＋1＋a，g(x)＝alnx－x(a≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a0时，对于任意x1，x2∈(]0，e，总有g(x1)f(x2)成立．14练习：1.1ln10afxxaxax.（1）设01a，试讨论fx单调性；（2）设224gxxbx，当14a时，若10,2x，存在21,2x，使12fxgx≥，求实数b的取值范围.152.设()lnafxxxx,32()3gxxx.（Ⅰ）当2a时,求曲线()yfx在1x处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]xx,使得12()()gxgxM成立,求满足上述条件的最大整数M;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2st,都有()()fsgt成立,求实数a的取值范围.16题型十.实际应用（最优化问题）例10.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？练习：某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件．．，需另投入成本C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件．．商品售价为0.05万元．通过