对称式与轮换对称式

1八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n元代数式12()nfxxx，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的ij，（1ijn），都有11()()ijnjinfxxxxfxxxx，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。例如，222xyxyxyxyzxyyzzxxy，，，，都是对称式。如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()fxyz，，中，若有3ax项，则必有33ayaz，项；若有2bxy项，则必有2bxz，2222byzbyxbzxbzy，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母xyz，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()axyzbxyyzzxcxyzd【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r，那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。由定义2知，n元多项式12()nfxxx，，，是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有1212()()rnnftxtxtxtfxxx，，，，，，。例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()axyzbxyxzyxyzzxzycxyz。【定义3】一个n元代数式12()nfxxx，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的ij，1ijn，都有11()()ijnjinfxxxxfxxxx，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n元交代式。例如，()()()xyxyxyyzzxxy，，均是交代式。2【定义4】如果一个n交代数式12()nfxxx，，，，如果将字母12nxxx，，，以2x代1x，3x代2nxx，，代11nxx，代nx后代数式不变，即12231()()nnfxxxfxxxx，，，，，，，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，222()axyz是对称式也是轮换式；222()bxyyzzx是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为n元基本对称多项式。1121()nniixxxx，，，2121()nnijijnxxxxx，，，………1212121()kknkniiiiiinxxxxxx，，，………1212()nnnxxxxxx，，，例如，二元基本对称多项式是指xyxy，，三元基本对称式是指xyzxyyzzxxyz，，当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。32．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若()fxyz，，是对称式，则在解题中可设xyz。（为什么？）（2）若()fxyz，，是对称式，则当xy，满足性质p时，xzyz，；，也满足性质p。（3）若()fxyz，，是轮换式，则在解题中可设x最大（小），但不能设xyz。（为什么？）（4）若()fxyz，，是轮换式，且xy，满足性质p，则yzzx，；，也满足性质p。（5）若()fxyz，，是交代多项式，则xyyzzx，，是()fxyz，，的因式，即其中()gxyz，，是对称式。()()()()()fxyzxyyzzxgxyz，，，，其中()gxyz，，是对称式。在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：()axy，二次：22()axybxy三次：33()()axybxyxy（2）三元齐次对称多项式一次：()axyz二次：222()()axyzbxyyzzx三次：333222()()()()axyzbxyzyzxzxycxyz判定mxnyrz是否为多项式(,,)fxyz，的因式的方法是：令0mxnyrz，计算()fxyz，，，如果()=0fxyz，，，那么mxnyrz就是()fxyz，，的因式，在实际操作时，可首先考虑mxnyrz的如下特殊情形：xxyxyxyzxyz，，，，4【例1】：已知多项式222222()()()()fxyzxyxyyzyzzxzx，，（1）求证：()fxyz，，是齐次式；（2）求证：()fxyz，，是轮换式；（3）求证：()fxyz，，是交代式；（4）分解因式()fxyz，，。(4)∵()fxyz，，是交代多项式，∴xyyzzx是它的因式。又因为()fxyz，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式xyz。于是，()fxyz，，可表示为【例2】：分解因式333()3fxyzxyzxyz，，。5【例3】：分解因式222222444()2()()fxyzxyyzzxxyz，，。【例4】：分解因式5555()()fxyzxyzxyz，，6【例5】：分解因式444(,)()fxyxyxy。【例6】：分解因式222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)yzxyxzzxyzyxxyzxzy。故fxyzxyyzzxxyzxyz，，7对称式与轮换对称式练习题：1．已知555()()()()fxyzxyyzzx，，（1）求证：f为5次齐次式；（2）求证：f为轮换式；（3）求证：f为交代式；（4）分解因式f。2．分解因式（1）22222()()4()fxyxxyyxyxy，（2）4444444()()()()()fxyzxyzxyzyzzxxy，，（3）333()()fxyzxyyzzx，，（4）()fxyzxyyzzxxyzxyz，，（5）444()fxyzxyzyzxzxy，，（6）3333()fxyzxyzxyz，，（7）333222222()2fxyzxyzxyzyzxzxyxyz，，（8）222222()3fxyzxyxyxzxzyzyzxyz，，（9）222333()2fxyzxyzyzxzxyxyzxyz，，（10）2()fabcdbcdcdadababcbcadcdabdbac，，，8练习答案与提示：1．2225()()()()xyyzzxxyzxyyzzx2．（1）可设2222()()fkxAxyyxBxyy，可求得11kAB，（2）可设()fkxyzxyz，可求出12k（3）可设()()()fkxyyzzx，可求出3k（4）可设()()()fkxyyzzx，可求出1k（5）222()()()()()fxyyzzxAxyzBxyyzzx，可求出1AB（6）3()()()xyyzzx（7）()()()xyzyzxzxy（8）()()xyzxyyzzx（9）()()()xyzyzxzxy（10）当abcd时，0f，∴f有abcd的因式，可设2222()()fabcdAabcdBabbccddaacbd，可求得12AB，，∴2()fabcdabcd