第九讲---相似三角形(培优)

1第九讲相似三角形（一）（培优）【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D。求证：△OBD∽△CBO。例1图54321ODCBA变式1图OEDCBA变式1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求证：BCBDBO2变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且AD＝AE求证：（1）△BDO∽△OEC；（2）CEBDDO2。【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF例2图FEDCBA本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？例2变式图1FEDCBA例2变式图2FEDCBA2【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：FAFGFC2。例3图GFEDCBA【例4】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝6，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？【例5】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。一、填空题：1、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是。2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作直线l交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线有条。3、如图，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝。问题一图DCBA问题二图QPDCBA3第1题图PCBA第3题图NMCBA第5题图EDCBA4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有种。5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则CD＝。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是（）A、两个等腰三角形B、两个直角三角形C、两个钝角三角形D、两个等边三角形2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（）A、3对B、4对C、5对D、6对三、解答题：1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。选择第2题图FGEDCBA解答第1题图FECBA42、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。求证：△AFD∽△ADB解答第2题图DFECBA3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能，请说明理由。解答第3题图PDCBA解答第4题图EDCBA4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。