工程力学-5

第五章摩擦一、基本要求正确理解滑动摩擦力的概念和滑动摩擦定律。理解摩擦角的概念和自锁现象。能熟练计算考虑摩擦力时物体的平衡问题(解析法)。能用摩擦角解物体的平衡问题(几何法)。了解滚动摩阻的概念和摩阻定律。二、重点和难点重点：滑动摩擦力的概念和滑动摩擦定律。考虑摩擦时物体平衡问题的解法。平衡的临界状态和平衡范围。难点：用摩擦角求解物体和物体系的平衡问题。三、研究内容摩擦前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。图5-1按接触面的运动情况看：摩擦分为滑动摩擦滚动摩擦本章主要讨论静滑动摩擦的情形，重点是研究具有静滑动摩擦的平衡问题。§5-1滑动摩擦1．静滑动摩擦力及最大滑动摩擦力实验：在粗糙的水平面上放置一重为P的物体图5-2不加外力，物体处于静止状态加一水平力F，力F不大时，物体仅有相对滑动趋势，但仍保持静止F达某一定值时，物体处于平衡的临界状态，此时，静摩擦力达最大值Fmax楔块工件(1)静滑动摩擦力：两个物体在接触面之间有相对滑动趋势，但保持相对静止时产生的摩擦力(简称静摩擦力)。静摩擦力的大小：可根据平衡方程求得。图5-2b可看成平面汇交力系：
FX=0FFS=0FS=F(FS也叫切向约束反力，随F力的增加而增加)
FY=0FNP=0FN=P(FN也叫法向约束反力，随主动力F力的增加而增加)静摩擦力的方向：与物体相对滑动的趋势相反。静摩擦力的特点：1)静摩擦力的大小随主动力F的变化而变化，因此有一个平衡范围0FSFmax2)FS具有最大值Fmax(2)最大静滑动摩擦力：(简称最大静摩擦力)实验表明：Fmax=fSFN静摩擦定律(又称库仑摩擦定律)fS—称为静摩擦因数，一般可以工程手册中查到(书上表5-1)，特殊情况可由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况有关，而与接触面积的大小无关。2、动滑动摩擦力当滑动摩擦力已达到最大值，若主动力F再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。动滑动摩擦力两个物体在接触面上作相对滑动时，产生的阻碍物体运动的力。以F表示，简称动摩擦力。动摩擦力的大小：NFfF=动摩擦定律其中：f称为动摩擦因数，与接触面的材料及表面状况有关。动摩擦力的方向：与物体相对滑动速度的方向相反。一般情况下ffS§5-2摩擦角和自锁现象1．摩擦角图5-3是这一章的难点。物块处于平衡状态全约束力(全反力)：支承面对平衡物体的法向约束反力FN和切向约束反力FS的几何和。即FRA=FN+FS与接触面公法线的夹角为。物块处于平衡的临界状态。摩擦角：摩擦力达最大值时，全反力和法线间的夹角也达最大值，称为摩擦角，用f表示摩擦角与摩擦系数的关系：SNNSNffFFfFFtg===max摩擦角也是表明摩擦性质的一个物理量。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变摩擦锥：在临界状态下，全反力FR的作用线画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。摩擦锥的顶角为2f2．自锁现象物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角也在零与摩擦角f之间变化，即0f由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束力必在摩擦角之内。由此可知：3．自锁在工程上的应用1)利用摩擦角的概念，通过试验的方法，可测定静摩擦系数。(2)在螺杆上拧紧螺母不会自动松开，就是应用了自锁，大家知道，螺纹相当于一斜面缠绕在圆柱上，螺母和螺纹的配合可简化为相当于物块放在斜面上，如斜面倾角(即螺旋升角)为，加于螺母上的轴向截荷P相当于物块的重力，因此，要螺纹自锁即螺母不因P的作用自动松开就需要螺纹的倾角f(1)自锁现象：如果作用于物块的全部主动的合力FR的作用线在摩擦角角f之内，则无论这个力多大，物块必保持静止，这种现象称为自锁现象。自锁条件：=f(2)避免自锁：如果全部主动力的合力FR的作用线在摩擦f之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。∵f而fFR，FRA二力平衡==ffStgf=主动力的作用线在摩擦角之内，P，FR二力平衡，即自锁f在摩擦角之外P，FR二力不平衡，必然滑动图5-4图5-5(3)工程上常用的螺旋千斤顶，在举起很重的重物后，不会自动下落，也是由于千斤顶螺旋升角必须小于摩擦角，还有连接两个零件用的楔块和圆柱锁，打进去以后也不会自行滑出等等。都是自锁现象，但工程中有时也要避免发生自锁现象，如凸轮机构不能使从动杆卡住。摇臂钻床的摇臂需调节其高度等等。§5-3考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时，求解物体的平衡问题与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：①分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力FS，通常增加了未知量的数目；②不确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即FSfSFN,补充方程的数目与摩擦力的数目相同；③由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FSfSFN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。解题的方法：一般有两种：一是解析法，一是几何法。(1)解析法：应用前面的平衡方程和考虑摩擦时的补充方程，即FSfSFN，组成方程组求解。确定解的平衡范围：①分析临界状态，一般情况下工程中需要分析平衡的临界状态。因此，计算时只取FS=fSFN，求得结果后，再分析讨论其解的平衡范围。②用不等式计算：直接用平衡方程和不等式FSfSFN求解。(2)几何法：在画受力图时，要预先确定摩擦力的方向，然后用全反力FR=FS+FN作用线在摩擦角内画出反全力FR，再画出物体上所受的其他力，作力多边形。在研究平衡问题时，使力多边形自行封闭，这个方法一般用于三力平衡。因为画出的力 根据几何关系容易求解，但有时几何关系不易明显找到。例5-1物体重为P，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fS，如图5-6a所示。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。解：由经验易和，力F1太大，物块将上滑；力F1太小，物块将下滑，因此F1应在最大与最小值之间1解析法(1)先求力F1的最大值。此时物体处于将要向上滑动的临界状态。研究对象：物体受力图：主动力：P，F1max约束反力：FN，Fmax(沿斜面向下)列平衡方程是这一章的重点内容图5-60cossin,00sincos,0max1maxmax1==
==
PFFFFPFFNyx补充方程Fmax=fSFN解得sincoscossinmax1SSffPF+=(2)现再求F1的最小值。此时，物体处于将要向下滑动的临界状态。摩擦力沿斜面向上，表示为Fmax。列平衡方程0cossin,00sincos,0min1maxmin1==
==
PFFFFPFFNyx补充方程Fmax=fSFN解得sincoscossinmin1SSffPF+=为使物块静止，力F1必须满足如下条件sincoscossinsincoscossin1SSSSffPFffP++此题如不计摩擦(fS=0)，平衡时应有F1=Ptan，其解答是唯一的。本题也可以利用摩擦角的概念，使用全约束力来进行求解。2几何法)tan(max1fPF+=)tan(min1fPF=这一结果与用解析法计算的结果是相同的。在此例题中，如斜面的倾角小于摩擦角，即f时，水平推力min1F为负值。这说明，此时物块不需要力F1的支持就能静止于斜面上；而且无论重力P值多大，物块也不会下滑，这就是自锁现象。例5-2图5-8a所示为凸轮机构。已知推杆(不计自重)与滑道间的摩擦因数为fS，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。注意：1)FmaxfSPcos∵FNPcos需要由平衡方程求解2)必须根据相对滑动的趋势，正确判定摩擦力的方向。为正值，又SNSfFfFQQ,max=∴Fmax与FN必须同号，而FN的方向总是确定的，FN值永为正，因而Fmax也应为正值，即摩擦力Fmax的方向不能假定。1)可见对于三力平衡问题用几何法有时更简便。2)也可不用几何法不作力 ，而也列平衡趋势时方程求解。向上滑动0)sin(F-00)cos(0Rmax1=+=
=+=
fxfRyFFPFF向下滑动趋势时0)sin(-00)cos(0Rmin1==
==
fxfRyFFFPFF图5-7解：题意分析：“卡住”这个现象是解题的关键，由实际经验我们知道，凸轮反力到滑道中心线的距离a越大越容易卡住，所以推杆不被卡住时a的最大值为平衡的临界状态，此时摩擦力达最大值。研究对象：推杆1解析法：受力图：FN，FNA，FA，FNB，FB(推杆在FN力作用下卡住的临界状况为与滑道的接触点在A和B，选坐标：Oxy列平衡方程)(022Fa0)()(0,0)(0,0cdFdFbFFMbFFFFaFFFABNBDBAyNBNAx=+=
=+=
==
，工考虑平衡的临界情况(即推杆将动而未动时)，摩擦力都达最大值，可以列出两个补充方程。FA=fSFNA(d)FB=fSFNB(e)由式(a)得FNA=FNB=FN代入式(d)、(e)，得FA=FB=Fmax=fSFN队入式(b)，得F=2Fmax最后代入式(c)，注意FNB=Fmax/fS，解得Sfba2=极限要保证机构不被卡住须Sfba22几何法：图5-9图5-8受力图：FN，将FNA，FA和FNB，FB分别合成全反力FRA，FRB，根据三力平衡汇交定理得一汇交点C。作图：用比例尺画出推杆尺寸，自A，B两点各作与水平线成角f的直线，两线交点为C，C到滑道中心线的距离即为a，最后用同样的比例尺量得a之大小，或按下式计算：2)2()2(SSfbaftgbtgdatgda===++Q讨论：由摩擦力的特性可知：A，B处的全反力只能在摩擦角内，也就是二力作用线的交点只能在C点或C点的右侧，则无论此力多么大，三力必将汇交，因而推杆必定处于平衡，若力FN的作用线在点C在左侧，则三力不可能汇交，因此推杆将会滑动，因此可知，欲使推杆不被卡住，必须使2Sfba例5-4图5-11所示的均质木箱重P=5kN，它与地面间的静摩擦因数fS=0.4。图中h=2a=2m，=30°。求：(1)当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？(2)能保持木箱平衡的最大拉力。图5-10解：欲保持木箱平衡，必须满足两个条件：一是不发生滑动，即要求静摩擦力FSFmax=fSFN；二是不绕A点翻倒，这时法向约束力FN的作用线应在木箱内，即d0。(1)取木箱为研究对象列平衡方程)(02cos0)()(0sin,0)(0cos,0cdFaPhFFMbFPFFaFFFNANySx=+=
=+=
==
，解得FS=0.866kN，FN=4.6kN，d=0.171m此时木箱与地面间最大摩擦力Fmax=fSFN=1.8kN可见，FSFmax，木箱不滑动；又d0，木箱不会翻倒。因此，木箱保持平衡。(2)为求保持平衡的最大拉力F，可分别求出木箱将滑动时的临界拉力F滑和木箱将绕A点翻倒的临界拉力F翻。二者中取其较小者，即为所求。木箱将滑动的条件为FS=Fmax=fSFN(d)由式(a),(b),(d)联立解得876.1sincos=+=SSfPfF滑kN木箱将绕A点翻倒的条件为d=0，代入式(c)，得443.1cos2==hPaF翻KN由于滑F翻F，所以保持木箱平衡的最大拉力为F=翻F=1.443这说明，当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。考虑摩擦时的平衡问题解题时需要注意的几点：1)在分析物体的受力情况时，必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与物体相对滑动趋势相反。用解析法解题时一般将静摩擦力和法向反力分开考虑；而用几何法解题时，必须将这两个力合成为全反力。2)解题时，一般考虑平衡的临界状态，所以用解析法解题时，除列出平衡方程，还应加上摩擦定律，Fmax