工程力学-材料力学之应力应变状态分析

(Analysisofstress-stateandstrain-state)一、各向同性材料的广义胡克定律(GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials)（1）正应力：拉应力为正,压应力为负1、符号规定(Signconvention)（2）切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负（3）线应变：以伸长为正,缩短为负；（4）切应变：使直角增者为正,减小者为负.xxyzyxyyxz§7-6广义虎克定律(GeneralizedHooke’slaw)(Analysisofstress-stateandstrain-state)yyx方向的线应变用叠加原理，分别计算出x,y,z分别单独存在时,x，y，z方向的线应变x,y，z，然后代数相加.2、各向同性材料的广义胡克定律(GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials)单独存在时xσ单独存在时zσ单独存在时yσEσεxxEσμεyxEσμεzxxyyzzzxx(Analysisofstress-stateandstrain-state)在x、y、z同时存在时,x方向的线应变x为同理，在x、y、z同时存在时,y,z方向的线应变为zyxxσσμσEε1xzyyσσμσEε1xyzzσσμσEε1GyzyzGxyxyGzxzx在xy，yz，zx三个面内的切应变为(Analysisofstress-stateandstrain-state)上式称为广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw）——沿x、y、z轴的线应变——在xy、yz、zx面上的角应变zyx,ε,εεzxyzxy,γ,γγGyzyzGxyxyGzxzxzyxxσσμσEε1xzyyσσμσEε1xyzzσσμσEε1(Analysisofstress-stateandstrain-state)3、主应力-主应变的关系(Principalstress-principalstrainrelation）32111σσμσEε13221σσμσEε21331σσμσEε二向应力状态下(Inplanestress-state)设3=02111μσσEε1221μσσEε123σσEμε已知1、2、3；1、2、3为主应变(Analysisofstress-stateandstrain-state)对于平面应力状态（Inplanestress-state）(假设z=0，xz=0，yz=0)Gxyxy)(1yxxμσσEε)(1xyyμσσEε)(xyzσσEμεxyzxyxyyxxyxyyx6(Analysisofstress-stateandstrain-state)二、各向同性材料的体积应变（Thevolumetricstrainforisotropicmaterials)123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体，三个边长为a1,a2,a3变形后的边长分别为变形后单元体的体积为a1(1+，a2(1+2，a3(1+3V1=a1(1+·a2(1+2·a3(1+37(Analysisofstress-stateandstrain-state)体积应变（Volumetricstrain）为3213213213213213213213322111)1()1()1()1(εεεaaaaaaεεεaaaaaaaaaεaεaεaVVV32111σσμσEε13221σσμσEε21331σσμσEε)(21321σσσE8(Analysisofstress-stateandstrain-state)1、纯剪切应力状态下的体积应变（Volumetricstrainforpureshearingstress-state)即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.xyτσσ3102σ02、三向等值应力单元体的体积应变(Thevolumetricstrainoftriaxial-equalstresselementbody)三个主应力为3321mσσσσ单元体的体积应变mmmm321)(21EσσσEmmm9(Analysisofstress-stateandstrain-state)m321σE)(21321σσσE这两个单元体的体积应变相同mmm123a1a2a3mmmm321211σEμσσμσEεεε单元体的三个主应变为10(Analysisofstress-stateandstrain-state)如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下，单元体变形后的形状和变形前的相似，称这样的单元体是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x，y，z有关，仿照上述推导有)(21zyxσσσE在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.11(Analysisofstress-stateandstrain-state)例题10边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.解：铜块横截面上的压应力MPa301.010300233AFσaFzyxzxy铜块受力如图所示变形条件为013211σσμσEε013122σσσE12(Analysisofstress-stateandstrain-state)解得-15.5MPa)30(0.34-10.34)0.34(11)1(23221σσσ铜块的主应力为MPa51521.σσMPa303σ最大切应力MPa25.7)(2131maxσσ体积应变为433211095.1)3025.15(1010034.021)(E21σσσ13(Analysisofstress-stateandstrain-state)例题11一直径d=20mm的实心圆轴，在轴的的两端加力矩m=126N·m.在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45°方向的应变=5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.mmA45°x14(Analysisofstress-stateandstrain-state)xxyxyxττσσσσσσ22minmax)2(2解：围绕A点取一单元体yxxσστ22tg0xEE1)(1311xxτσστσ3210450'45011xEMPa2.802121)1(2t11WmεετEGxA13xy-45°A15(Analysisofstress-stateandstrain-state)Dtymk450900x例题12壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点与其轴线成45°和135°角，即x,y两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶，如图所示，已知圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内，且max=100MPa,试求k点处的线应变x,y以及变形后的筒壁厚度.16(Analysisofstress-stateandstrain-state)0zσ解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示可求得Dtymk450900xMPa80max1τσσyMPa80max3τσσx-45°xyk13maxmaxk17(Analysisofstress-stateandstrain-state)k点处的线应变x,y为4maxmaxmax102.5)1()(1)(1τEττEμσσEεyxx（压应变）411025.xy（拉应变）圆筒表面上k点处沿径向(z轴)的应变和圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径向应变为0)()(maxmaxττEσσEεyxz0)(ρρzρττEε因此，该圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为t=10mm.18(Analysisofstress-stateandstrain-state)bzb=50mmh=100mm例题13已知矩形外伸梁受力F1，F2作用.弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3,F1=100KN，F2=100KN。求：（1）A点处的主应变1，2，3（2）A点处的线应变x，y，zaAF1F2F2l19(Analysisofstress-stateandstrain-state)解：梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸）MPa202AAFσ（负）MPa3023SAAFAx=20x=30（1）A点处的主应变1，2，3MPa4.21MPa4.41)2(222minmaxxyxyxτσσσσσσ4.411024.21320(Analysisofstress-stateandstrain-state)4311104.2)(1μσσEε5312103)(σσEε4133107.1)(1μσσEε（2）A点处的线应变x，y，z020zyxσσσ410Eσεxx5103xyσEμε5103xzσEμε21(Analysisofstress-stateandstrain-state)例题14简支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3.0.50.50.25FA0°45°90°求：A点沿00，450，900方向的线应变90450,ε,εεh/422(Analysisofstress-stateandstrain-state)解：25.02FMAMPa8.50AAzAyIMσ)(MPa8.68*SAdISFzzAAyA，Iz，d查表得出为图示面积对中性轴z的静矩*zASzAh/42SFFAAA=50.8A=68.88.50A0σσ090yσσEσε00Eσε09023(Analysisofstress-stateandstrain-state)MPa2.9490sin90cos2245xxxτσσσMPa3.43270sin270cos22135xxxτσσσ61354545105361)(σσEε0.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA=50.8A=68.824(Analysisofstress-stateandstrain-state)§7-7复杂应力状态的应变能密度(Strain-energ