工程力学-第三章

力系的平衡条件与平衡方程第一篇静力学工程力学(静力学与材料力学)第三章受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部未知力。第三章力系的平衡条件与平衡方程“平衡”不仅是本章的重要概念。对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的，则构件的每一个局部也是平衡的。这就是整体平衡与局部平衡的概念。第三章力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程简单的刚体系统平衡问题考虑摩擦时的平衡问题结论与讨论第三章力系的平衡条件与平衡方程返回首页平面力系的平衡条件与平衡方程第三章力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程当力系的主矢和对于任意一点的主矩同时等于零时，力系既不能使物体发生移动，也不能使物体发生转动，即物体处于平衡状态。是平面力系平衡的充分条件。另一方面，如果力系为平衡力系，则力学的主矢和对于任意一点的主矩必同时等于零。这是平面力系平衡的必要条件。平面力系的平衡条件与平衡方程因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。满足平衡条件的力系称为平衡力系。本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。平面力系的平衡条件与平衡方程对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩的表达式，力系的平衡条件可以写成FR—主矢；MO—对任意点的主矩平面力系的平衡条件与平衡方程01niRFiF0)(1niiOOFMMyzxOF1FnF2M2M1Mn对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件的投影形式为平面力系的平衡条件与平衡方程0xixRFF0yiyRFF0zizRFF0)(ioxxoFMM0)(FiMMoyyo0)(iozzoFMMFx=0,MO=0Fy=0,于是，平面力系平衡方程的一般形式为：其中矩心O为力系作用面内的任意点。yzO通常将上述平衡方程中的第1、2两式称为力的平衡方程；第3式称为力矩平衡方程。上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。平面力系的平衡条件与平衡方程悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索，A处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的重力为FQ。已知角度θ=30º。求：1.电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2.分析电动机处于什么位置时，钢索受力的最大，并确定其数值。例题1平面力系的平衡条件与平衡方程解：1．选择研究对象本例中要求的是钢索BC所受的力和支座A处的约束力。钢索受有一个未知拉力，若以钢索为研究对象，不可能建立已知力和未知力之间的关系。吊车大梁AB上既有未知的A处约束力和钢索的拉力，又作用有已知的电动机和重物的重力以及大梁的重力。所以选择吊车大梁AB作为研究对象。将吊车大梁从吊车中隔离出来。平面力系的平衡条件与平衡方程解：1．分析受力因为要求电动机处于任意位置时的约束力，所以假设力FW作用在坐标为x处。于是，可以画出吊车大梁AB的受力图。在吊车大梁AB的受力图中，FAx、FAy和FTB均为未知约束力与已知的主动力FW和FQ组成平面力系。因此，应用平面力系的3个平衡方程可以求出全部3个未知约束力。建立Oxy坐标系。A处约束力分量为FAx和FAy；钢索的拉力为FTB。平面力系的平衡条件与平衡方程解：2．建立平衡方程：因为A点是力FAx和FAy的汇交点，故先以A点为矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一个未知力FTB。然后，再应用力的平衡方程投影形式求出约束力FAx和FAy。0F＝AM0＝xF0＝yF平面力系的平衡条件与平衡方程解：2．建立平衡方程0＝FAM0sin2TWQ＝－－lFxFlFBQWQPT2sin2FlxFllFxFFB＝＋＝0＝xF0cosT＝BAxFF23cos302QWQWFxlFllFxFFAx＝＝0＝yF0sinTPQ＝＋－－BAyFFFF2QWFFlxlFAy＋－＝－平面力系的平衡条件与平衡方程解：3．讨论由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为QWQWT2sin2FlxFllFxFFB＝＋＝QWQWQWT22sin302sin22FFFFllFlFFB＋＝＋＝＋＝平面力系的平衡条件与平衡方程例题2A端固定的悬臂梁AB受力如图示。梁的全长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。平面力系的平衡条件与平衡方程解：1．研究对象、隔离体与受力图本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解除A端的固定端约束，代之以约束力FAx、FAy和约束力偶MA。于是，可以画出梁AB的受力图。图中、M、q为已知的外加载荷，是主动力。2．将均布载荷简化为集中力作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与作用长度的乘积，即ql；合力的方向与均布载荷的方向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。ql平面力系的平衡条件与平衡方程解：3．建立平衡方程，求解未知约束力通过对A点的力矩平衡方程，可以求得固定端的约束力偶MA；利用两个力的平衡方程求出固定端的约束力FAx和FAy。ql0＝xF0＝AxF0＝yF0P＝FqlFAyqlFAy2＝0＝FAM02P＝MlFlqlMA225qlMA＝平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡方程的其他形式平面力系的平衡条件与平衡方程上述平面力系3个平衡方程中的可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。于是，可以得到平面力系平衡方程的其他形式。Fx=0,MO=0Fy=0,Fx=0,Fy=0,yzO平面力系的平衡条件与平衡方程Fx=0,MA=0,MB=0。BAxA、B连线不垂直于x轴这是因为，当上述3个方程中的第二式和第三式同时满足时，力系不可能简化为一力偶，只可能简化为通过AB两点的一合力或者是平衡力系。但是，当第一式同时成立时，而且AB与x轴不垂直，力系便不可能简化为一合力FR，否则，力系中所有的力在x轴上投影的代数和不可能等于零。因此原力系必然为平衡力系。FR平面力系的平衡条件与平衡方程例题3图示结构，若FP和l已知，确定A、B、C三处约束力lACBllFP平面力系的平衡条件与平衡方程分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC平面力系的平衡条件与平衡方程MA(F)=0:FBCd-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡条件与平衡方程PBCFF22MB(F)=0:FAyl-FPl=0FAy=-FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡条件与平衡方程Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡条件与平衡方程M=FPlllACBlD例题4图示结构，若FP和l已知，确定A、B、C三处约束力平面力系的平衡条件与平衡方程ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy´FBx´FCx´FCy´llACBlDM=FPl分析BC和ABD杆受力平面力系的平衡条件与平衡方程ABDFAxFByFBxFAy考察ABD杆的平衡MB(F)=0:MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx=0:FBx+FAx=0FBx=-FAx平面力系的平衡条件与平衡方程CB'M=FPlFBy´FBx´FCx´FCy´考察BC杆的平衡Fx=0:FBx´-FCx´=0FCx´=FBx´=FBxFy=0:FBy´-FCy´=0FCy´=FBy´=FBy=0MB'(F)=0:FCx´l+M=0FCx´=FBx´=-FP平面力系的平衡条件与平衡方程llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP平面力系的平衡条件与平衡方程最后的受力图关于平衡对象的选择能不能以整体为平衡对象FAxFAyFAxFAyACBM=FPllllDllACBlDM=FPl平面力系的平衡条件与平衡方程MA=0，MB=0,MC=0。CBAA、B、C三点不在同一条直线上因为，当式中的第一式，第二式满足时，力系不可能简化为一力偶，只可能简化为通过A、B点的一个合力FR。同样如果第二、三式也同时被满足，则这一合力也必须通过B、C两点。CFR但是由于A、B、C三点不共线，所以力系也不可能简化为一合力。因此，满足上述方程的平面力系只可能是一平衡力系。平面力系的平衡条件与平衡方程lllACBDM=FPl例题5图示结构，若FP和l已知，确定A、C二处约束力平面力系的平衡条件与平衡方程lM=FPlllACBDFAFC平面力系的平衡条件与平衡方程lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:FA=FC=FPFA×l+M=0平面力系的平衡条件与平衡方程lllFPACBD例题6图示结构，若FP和l已知，确定A、C二处约束力平面力系的平衡条件与平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCx平面力系的平衡条件与平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCxME(F)=0:MA(F)=0:MC(F)=0:FCxl-FP2l=0-FAl-FP2l=0-FCy2l-FAl=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP平面力系的平衡条件与平衡方程简单的刚体系统平衡问题第3章力系的平衡条件与平衡方程返回首页简单的刚体系统平衡问题实际工程结构大都由两个或两个以上构件通过一定约束方式连接起来的系统，因为在工程静力学中构件的模型都是刚体，所以，这种系统称为刚体系统(systemofrigiditybodies)。前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点，其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性质，并选择合适的研究对象。刚体系统静定与静不定的概念刚体系统的平衡问题的特点与解法简单的刚体系统平衡问题前几节所研究的问题中，作用在刚体上的未知力的数目正好等于独立的平衡方程数目。因此，应用平衡方程；可以解出全部未知量。这类问题称为静定问题。相应的结构称为静定结构。简单的刚体系统平衡问题刚体系统静定与静不定的概念实际工程结构中，为了提高结构的强度和刚度，或者为了其他工程要求，常常需要在静定结构上，再加上一些构件或者约束，从而使作用在刚体上未知约束力的数目多于独立的平衡方程数目，因而仅仅依靠刚体平衡条件不能求出全部未知量。这类问题称为静不定问题。相应的结构称为静不定结构或超静定结构。简单的刚体系统平衡问题对于静不定问题，必须考虑物体因受力而产生的变形，补充某些方程，才能使未知量的数目等于方程的数目。求解静不定问题已超出工程静力学的范围，本书将在“材料力学”中介绍。本章将讨论静定的刚体系统的平衡问题。简单的刚体系统平衡问题刚体系统的平衡问题的特点与解法简单的刚体系统平衡问题整体平衡与局部平衡的概念某些刚体系统的平衡问题中，若仅考虑整体平衡，其未知约束力的数目多于平衡方程的数目，但是，如果