牛吃草问题练习及答案

牛吃草问题历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。主要类型：1、求时间2、求头数除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。基本公式：解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度第一种：一般解法“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162(这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207(这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。第二种：公式解法有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？解答：1)草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)原有草量：21×8-12×8=72(份)16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)2)要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数所以最多只能放12头牛。例题一一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？解：把每天每头牛吃的草量看成“1”。第6周时总草量为：6×27＝162第9周时总草量为：9×23＝2073周共增加草量：207－162＝45每周新生长草：45÷（9－6）＝15即每周生长出的草可以供15头牛吃。原有草量为：162－6×15＝72所以可供21头牛吃：72÷（21－15）＝12（周）随堂练习：1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？解：20天时草地上共有草：10×20＝20010天时草地上共有草：15×10＝150草生长的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5即每天生长的草可供5头牛吃。原草量为：200－20×5＝100可供25头牛吃：100÷（25－5）＝5（天）2、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？解：6天时共有草：24×6＝14410天时共有草：20×10＝200草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14原有草量：144－6×14＝60可供19头牛：60÷（19－14）＝12（天）3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？解：8天时草的总量为：5×8＝402天时草的总量为：14×2＝28草每天生长的速度为：（40－28）÷（8－2）＝2即每天生长的草可供2头牛吃。草地上原有的草为：28－2×2＝24可供10头牛吃：24÷（10－2）＝3（天）4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？（草匀速生长，每人每天割草量相同）解：（17×30－19×24）÷（30－24）＝917×30－9×30＝240240÷6＋9＝49（人）5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？（假设全厂每天用煤量相等。）解：（45＋5）÷5＝10（45＋9）÷9＝645÷（10＋6－1）＝3（天）6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4解：（21×12－23×9）÷（12－9）＝1523×9－15×9＝7272÷（33－15）＝4（周）7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解：（10×20－15×10）÷（20－10）＝510×20－20×5＝100100÷5＋5＝25（头）例题二由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？解：5天时草地上共有草：5×20＝1006天时草地上共有草：6×15＝90每天草地上的草减少：（100－90）÷（6－5）＝10原草量为：100＋5×10＝15010天后还剩下的草量：150－10×10＝5050÷10＝5（头）随堂练习：1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？解：5天时草地上共有草：33×5＝1656天时草地上共有草：24×6＝144每天减少：（165－144）÷（6－5）＝21原有的草量为：165＋5×21＝27010共减少了：21×10＝21010天后剩草量为：270－210＝6060÷10＝6（头）2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？解：5天时共有草：20×5＝1006天时共有草：16×6＝96草减少的速度为：（100－96）÷（6－5）＝4原有的草量为：100＋4×5＝120可供11头牛吃：120÷（11＋4）＝8（天）3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。那么，如果10头牛去吃____天可以吃完。解：（30×15－20×20）÷（20－15）＝1020×20＋10×20＝600600÷（10＋10）＝30（天）答：10头牛去吃30天可吃完。4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。照此计算，可供6头牛吃几天？解：假设1头牛1天吃1份的草20头牛5天一共吃了：20×5=100份的草12头牛7天一共吃了：12×7=84份的草时间相差：7-5=2（天）草量减少：100-84=16份的草说明，一天减少：16÷2=8份的草5天减少了：8×5=40份的草原来牧场上有：100+40=140份的草这140份的草，可供6头牛吃：140÷(6+8)=10(天)例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？解：5分钟时男孩共走了：20×5＝100（台阶）6分钟时女孩共走了：15×6＝90（台阶）自动扶梯的速度为：（100－90）÷（6－5）＝10（台阶）自动扶梯共有：100＋5×10＝150（台阶）随堂练习：1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？解：男孩共走了：2×60÷20×27＝162女孩共走了：3×60÷20×24＝216自动扶梯的速度：（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）162－54×2＝542、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？解：5分钟小明共走了：25×5＝1256分钟小红共走了：20×6＝120自动扶梯的速度为：（125－120）÷（6－5）＝5该扶梯的台阶：125＋5×5＝150（台阶）3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走20级台阶，小红每分钟走14级台阶，结果小明用4分钟，小红用了5分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？解：5分钟小明共走了：20×4＝806分钟小红共走了：14×5＝70自动扶梯的速度为：（80－70）÷（6－5）＝10该扶梯的台阶：80＋10×4＝120（台阶）4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？解：（50×1－60÷3×2）÷（60－50）＝150×1＋50×1＝100（级）例题四一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完水，需要多少人？解：把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’3个小时后共有水：12×3＝3610个小时后共用水：5×10＝50每小时的进水量：（50－36）÷（10－3）＝2发现时船舱内有水：36－3×2＝30原水量舀完共需：30÷2＝15（人）共需：15＋2＝17（人）随堂练习：1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？解：3小时后共有水：3×10＝308小时后共有水：8×5＝40进水速度为：（40－30）÷（8－3）＝2原有水量为：30－3×2＝2424÷2＝12（人）12＋2＝14（人）2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排水多少立方米？（每小时排水量相同）解：7小时共注水：7×30＝210（立方米）4.5小时共注水：（7－2.5）×45＝202.5（立方米）排水速度为：（210－202.5）÷（7－4.5）＝3（立方米）3、一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么有25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？解：20小时共抽水：10×20＝20010小时共抽水：15×10＝150泉水涌出的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5原有水量为：200－20×5＝10025部可以在：100÷（25－5）＝5（小时）4、有一眼泉井，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同时开机，40分钟可以抽干；用同样的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机9台，几分钟可以抽干？解：（3×40－6×16）÷（40－16）＝116×6－16×1＝8080÷（9