工程力学第10章

§10-1引言（弯曲的概念和实例）§10-2梁的计算简图§10-3剪力和弯矩（梁的内力）§10-4剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图§10-5载荷集度、剪力和弯矩之间的关系§10-1弯曲的概念和实例工程实例生活中的弯曲现象：车间桁吊大梁问题1、什么弯曲变形？2F2FF工程实例工程实例工程实例的共同点弯曲变形的定义：以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲弯曲与梁以弯曲为主要变形的杆件－梁通常以轴线代表梁。变形特征外力特征外力或外力偶的矢量垂直于杆轴杆轴由直线变为曲线以弯曲变形为主的杆件。下面的变形是不是弯曲？轴线由直线变为曲线；梁：本章研究梁的外力与内力，仅研究外力均作用于同一个平面内的梁----平面弯曲（最简单的弯曲）条件：所有的载荷作用在纵向对称面内；结果：梁的轴线是纵向对称面内的一条平面曲线。平面弯曲的条件•具有纵向对称面；•外力都作用在纵向对称面内；•梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。常见构件的纵向对称面•集中载荷•分布载荷•集中力偶§10-2梁的计算简图1、梁本身的简化以轴线代替；2、载荷的简化3、支座简化主要约束形式与反力固定铰支座：支反力FRx与FRy滑动铰支座：垂直于支承平面的支反力FR固定端：支反力FRx,FRy与矩为M的支反力偶矩4、梁的类型——简支梁外伸梁梁的基本形式——悬臂梁梁的基本形式——简支梁外伸梁悬臂梁静定梁的基本形式FNFSM0xF0NF0yF1ASFFFy0cM)(1axFxFMAy§10-3剪力和弯矩FAyFAyFBy一、弯曲变形时横截面的内力-梁的内力问题2：当梁受到外力弯曲作用时，梁的内力如何？与横截面相切的分布内力系的合力；与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。FByMFNFSFS剪力：M弯矩：弯曲变形时横截面的内力//A轴线M二、内力的大小FSMFAy0yF1ASFFFyFByMFS0yFyFFFFA32S1、剪力大小=截面一侧所有外力的代数和。内力的大小FSMFAyFByMFS2、弯矩大小=截面一侧所有外力对0cM)(1axFxFMAy0cM)()()(21FMFMFMMCCByC求内力的截面形心之矩的代数和。FAyFNFSMFByFNFSM剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；+_左上三、内力的符号1、剪力的符号约定实用的方向约定右下的外力产生正剪力；使梁呈下凸时弯矩为正；+_2、弯矩的符号约定1.确定支反力FAyFBy0yFFFFByAy20AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2.用截面法求内力FSMEFFFAyS22223aFaFMAyE3F23FaFAy练习：计算下列各图中特殊截面上的内力PPaaaqaaM＝qa2P=2qaqaaq2aaM=qa2P=qaaaa练习：计算下列各图中特殊截面上的内力§10-4剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩ql写内力方程，并作内力图xxMxFSqxqxxFS＝2/2qxxM＝lx0lx0一、剪力方程：任意截面处的内力表示为截面位置的函数；例1、悬臂梁上作用均布载荷lxqxxFS0＝lxqxxM02/2＝FSxMxqlFS＝max2/2maxqlM＝二、剪力图qlql2/2ql危险截面位置固定端截面处；1885年，俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图；被认为是历史上第一个使用弯矩图的人a建立坐标系b确定控制截面c作图仔细观察内力图的特点FCabl写内力方程，并画内力图例2、简支梁受集中载荷作用(1)．确定约束力FBYFAY0＝AMFAy＝Fb/l0＝BMFBy＝Fa/lx1axFxFAyS110＝axxFxMAy1110＝AC段FAYx1x2l-x2FBYCB段lxaFxFByS22＝lxaxlFxMBy222＝(2)．写内力方程FSxMxACaxlFbxFS110/＝axlFbxxM1110/＝CBlxalFaxFS22/＝lxalxlFaxM222/＝(3).作内力图FC危险截面位置集中力作用点的左或右侧截面a建立坐标系b确定控制截面c作图lFb/lFa/lFab/仔细观察内力图的特点—外力规律发生变化的截面控制截面：集中力作用点、外力偶作用面、分布载荷的起点、终点等。写内力方程时注意事项3、x截面处必须是任意截面；4、x截面处必须是远离外力的作用点；5、写出x截面处的内力就是内力方程，同时确定定义域。1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程；2、各段的分界点为各段梁的控制截面。FSxMxlql2/2qlFSxMxlFb/lFa/lFab/FC总结11、简支梁的两端悬臂梁的自由端：剪力的大小=集中力的大小；剪力的方向：左上右下如果没有外力偶矩时，弯矩恒等于零；弯矩大小有外力偶矩时，弯矩外力偶矩的大小弯矩方向：满足左顺右逆。FSxMxlql2/2ql总结22、有均布载荷的一段梁内剪力图斜直线；曲线，弯矩图且均布载荷向上剪力图上升；均布载荷向下剪力图下降；且均布载荷向上弯矩图下凸；弯矩图上凸；均布载荷向下下雨天撑伞FSxMxlFb/lFa/lFab/FC总结33、梁上没有均布载荷时：剪力的图水平；斜直线；且剪力大于零时，弯矩图弯矩图上升；剪力小于零时，弯矩图下降；FSxMxlFb/lFa/lFab/FC总结44、集中力的作用点处剪力图突变；突变量=集中力的大小；突变的方向顺集中力的方向弯矩图发生转折。例3、简支梁受均布载荷作用写内力方程，并作内力图。(1)．确定约束反力0＝AMFAy＝ql/20＝yFFBy＝ql/2(2)．写内力方程CxxFAYlxqxFxFAyS0＝lxxqxxFxMAy02＝lFBYFAYlxqxqlxFS02/＝lxqxqlxxM02/2/2＝(3)、作内力图FSxMx8/2ql2/ql2/ql危险截面位置跨度中点。a建立坐标系b确定控制截面c作图a/2仔细观察内力图的特点例4、简支梁受集中力偶作用(1)．确定约束反力0＝AMFAy＝M/l(2)．写出内力方程x2x1axFxFAyS110＝axxFxMAy1110＝bxFxFByS220＝bxxFxMBy2220＝lFAYMab0＝BMFBy＝M/lx1FAYFBYx2FBY写内力方程，作内力图(3).画内力图axlMxFS110/＝axlMxxM1110/＝bxlMxFS220/＝bxlMxxM2220/＝MabFSxMxlMb/lM/lM/lMa/a建立坐标系b确定控制截面c作图仔细观察内力图的特点总结5、65、剪力连续变化过零点：弯矩取得极值；FSMx8/2ql2/ql2/qlMabFSxMxlMb/lM/lM/lMa/6、集中力偶处剪力图不变；弯矩图突变；突变量=外力偶矩的大小；突变的方向从左向右画，顺时针的外力偶引起弯矩图的上突；例5：悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:0)(xFsPamxM)()0(axPm=PaACBaaBC段:PxFs)()()(axPmxM)2(axaPxPa2xxPxFs)()2(axaPxPaxM2)(Pm=PaACB0)(xFs)0(axPamxM)(FSxMxa建立坐标系b确定控制截面c作图仔细观察内力图的特点-PPa总结77、剪力=0的一段梁内，弯矩保持为常量；Pm=PaACBFSxMx-PPa1.5m1.5m1.5m1kN.m2kN梁的内力图FAYFBY(1)．计算约束反力00＝，＝BAMMFAy＝-0.89kN根据力矩平衡方程BA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNFBy＝-1.11kNM(kN.m)xO(3)．建立坐标系(5)画图(4)．确定控制截面xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNFAYFBYBAEDCF0.891.111.3350.3351.67写内力方程时注意事项3、x截面处必须是任意截面；4、x截面处必须是远离外力的作用点；5、写出x截面处的内力就是内力方程，同时确定定义域。1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程；2、各段的分界点为各段梁的控制截面。§10-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMdsq(x)dxFs(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)M(x)载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1、q(x)＝0:2、q＝常数，3、剪力Fs=0处，M(x)为x的一次函数，Fs=常数，剪力图为直线；弯矩图为斜直线。Fs(x)为x的一次函数，M(x)为x的二次函数，分布载荷向上（q0），分布载荷向上（q0），剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。抛物线呈凹弧；抛物线呈凸弧;下凸。上凸。弯矩取极值。左右两侧剪力变号)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMsdxFs(x)Fs(x)+ΔFs(x)M(x)+ΔM(x)M(x)P梁上作用集中力时0))()(()(xFxFPxFsssPxFs)(0))()(()()(xMxMPdxxFxMsPdxxFxMs)()(集中力作用处，剪力图突变，突变量等于集中力的大小。弯矩图发生转折。dxFs(x)Fs(x)+ΔFs(x)M(x)+ΔM(x)M(x)梁上作用集中力偶时0))()(()(xFxFxFsss0)(xFs0))()(()()(xMxMMdxxFxMsdxxFMxMs)()(集中力偶作用处，剪力图不变。突变量等于集中力偶的大小。弯矩图发生突变，M内力Fs、M的变化规律载荷图sF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线+-oror上斜直线上凸抛物线下凸抛物线下斜直线F(剪力图无突变)F处有尖角oM斜直线校核已作出的内力图是否正确；微分关系的利用快速绘制梁的内力图；不必再建立内力方程；1．求支座反力；利用微分关系快速绘制内力图的步骤：3．分段确定内力图的形状；2．利用截面法求控制截面的内力；5．确定剪力的危险面和弯矩的危险面。4、根据微分关系绘剪力图和弯矩图；FAYFBY例1：利用微分关系快速作梁的内力图(1)．计算约束反力00＝，＝BAMMFAy＝0.89kN根据力矩平衡方程BA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNFBy＝1.11kNM(kN.m)xO(3)．建立坐标系(5)画图(4)．确定控制截面xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNFAYFBYBAEDCF0.891.111.3350.3351.671．计算约束反力FAy＝0.89kNFBy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。3．从A截面左测开始画剪力图。0.891.11DCBA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kN内力图的另一种画法xFS(kN)O（-）（-）4．从左侧开始画弯矩图。从C左到C右从A到C左1.3300.330从C右到D左1.665从D右到BM(kN.m)xO0.891.11DCBA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNxFS(kN)OFAYFBY1．计算约束反力00＝，＝BAMMqaFqaFByAy4349＝＝,2．确定控制面A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力qa左侧的截面。例2：利用微分关系快速作梁的内力图qa4aqaFByFAy（+）（-）（+）3．建立坐标系OFSxOMx4．确定控制面4/9a5．画图qaFqaFByAy4349＝＝,qa4a