工程力学第三章

第三章力偶系ChapterThreeSystemofCouples3.1力对点之矩3.4力偶及其性质本章内容小结本章基本要求3.2力对轴之矩3.3力系的主矢和主矩3.5力偶系的合成与平衡深刻理解力对点之矩的概念和力对轴之矩的概念，并要求熟练计算。正确理解力系的主矢和主矩的概念。能熟练地应用力偶系平衡条件求解力偶系的平衡问题。本章基本要求正确理解力偶的概念和性质。i·i=1j·j=1k·k=1i·j=0j·k=0k·i=0A·B=ABcos(A，B)OxyzijkA×B=CC=ABsin(A,B)i×i=0j×j=0k×k=0i×j=kj×k=ik×i=jABC数学工具箱OOFddFα力对刚体的转动效应的度量。3.1力对点之矩OFM(F)=±FdoM(F)odFABxyO转向大小逆时针转向为正。代数量单位∶N·mkN·m1.平面问题中力对点的矩飞机水平和垂直尾翼的主要作用2.空间问题中力对点的矩2.空间问题中力对点的矩力使物体绕O点转动的效果决定于？FOAd转向力矩作用面的方位三要素∶力矩的大小FBOxyzijkM(F)orA(x，y，z)力对点O的矩等于矢径r与力F的矢积。M(F)o=r×F定义∶FBOxyzijkM(F)orA定位矢量大小、方向、矩心力矩矢垂直于r与F所确定的平面,指向用右手定则。=Frsin(r,F)=FdM(F)o=r×FdFBOxyzijkM(F)orAr=xi+yj+zkFzFxFyi+kF=j+FBOxyzijkrA(x，y，z)M(F)o=r×F=(xi+yj+zk)×FzFxFyi+kj+（）=(yF–zF)i+(zF–xF)j+(xFyF)kxxyyzz–=ijkxyzFzFxFy解析表示∶MoxMozMoy===(yF–zF)yz(zF–xF)zx(xF–yF)xyM(F)oMoxMozMoy=i++jk长方体，上下底为正方形，边长，高a，力大小F；求力F对点O矩矢。例.OxyzFAa解：r)0,3,3(aaAjaiar33kFjFiFFzyxkFjF21230FrFMo)(FFaakji21230033)3(23kjiFaa3FMoa33.力对点的矩的基本性质力对点之矩矢服从矢量的合成法则。Mo=Mo(F1)+Mo(F2)++Mo(Fn)4.合力矩定理当一空间力系与一合力等效时，空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点的矩之矢量和。Mo(F)R=∑i=1nM(F)oirOαFrFFnrOαFnd图示圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。试计算力Fn对于轴心O的力矩。例题1mm60,20,N14000nrF解：dFMOnnFcosnrFcmN7893FMFMMOOOrnFFMOrFcosn已知力F的作用点A的坐标为x和y,试计算力F对于坐标原点O的矩。解：yOxOOFMFMMFyFxFxyyFxFcossinyxOAFαFyFx动脑又动笔zFAdM(F)z=M(F)zxy=±FdxyM(F)xyo=M(F)z=(r×F)xyxy·kFzFFxyAOxyzrxy3.2力对轴之矩力对轴之矩是力对刚体所产生的绕该轴转动效应的度量。1.力对轴之矩的概念k代数量；Fd；xy按右手定则来确定正负号。⑴当力与轴相交时；⑵当力与轴平行时；M(F)z=0单位∶N·mkN·mM(F)z2.力对点之矩与力对轴之矩的关系OxyzijkAFFxyFzrxyrFxyM(F)oM(F)z=(r×F)xyxy·kMozMoz=M(F)zMoy=M(F)yMox=M(F)x力对点之矩在过该点的轴上的投影等于力对该轴之矩。结论1.力系的主矢和主矩的概念▲力系的主矢定义∶一般力系中所有力的矢量和。F=∑FRii=1nF1F2Fn…3.3力系的主矢和主矩主矢=合力大小，方向，自由矢量大小，方向，作用线分析和讨论a.几何法∶多边形法则F2OF1F2F3F4F4F3b.解析法∶F=∑FRii=1nFRFiRxFkRzFjRy=++FizFixFiyi+kF=j+iFixFRx=∑i=1nFiyFRy=∑i=1nFizFRz=∑i=1n▲力系的主矩定义∶力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩。=Mo∑i=1nM(F)oir×Fii=∑i=1nMoyM(F)oyi=∑i=1n=∑i=1nMozM(F)ozi=Mox∑i=1nM(F)oxi解析法∶M(F)oMoxMozMoy=i++jkF6F5F4F3F2F1正立方体的顶角作用着六个大小相等的力，此力系对任意点的①主矢=0,主矩≠0②主矢≠0,主矩≠0③主矢≠0,主矩=0④主矢=0,主矩=0分析和讨论2.力系等效定理两个不同力系等效的充分必要条件是主矢相等，且对同一点的主矩相等。推论力系平衡的充分必要条件∶主矢=0，对任意点的主矩=03.4力偶及其性质1.力偶的定义两个大小相等，作用线不重合的反向平行力所组成的力系，称为力偶。（F,F）dFF力偶的作用面力偶臂2.力偶的基本性质FFFR≡0②力偶的主矢≡0①力偶不能与一个力等效（即力偶没有合力），因此也不能与一个力平衡。力偶是最基本、最简单的力系。FFR≠0思考：如图所示结构，力偶引起的支座反力是否相等？OxyzFFAB=Mo∑i=12M(F)oirBArArB=r×FAr×FB+F=－FrBrA－()×F=rBA×F=③力偶对任意点的主矩=r×F力偶对刚体的作用效应使刚体转动力偶三要素∶②力偶的转向Fd力偶矩的大小①③力偶的作用面d3.力偶矩矢量M=r×FFFr=Frsin(r,F)=FdM=r×F大小∶方向∶⊥力偶作用面，指向按右手定则表示力偶的转向。自由矢量M定义：M代数量平面力偶矩ABD45lMM=±Fd转向大小+－M4.力偶等效变换的性质①力偶可在作用面内任意转动和移动；FF②力偶的作用面可任意平移；MM③只要保持力偶矩不变，可任意改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短。FFdF1F1d1F2F2d2MFd=Fd=Fd=M1212只要保持力偶矩矢量不变，不会改变力偶对刚体的作用效应。力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢量M。1.力与力偶有什么不同？2.力偶的合力等于零？3.力矩与力偶矩有什么异同？4.试分析这一试验结果是否与力偶性质矛盾？O1O2分析和讨论1.力偶等效条件若两个力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。3.5力偶系的合成与平衡力偶矩矢M=∑MRFR=0平面力偶系合力偶(代数量)一个合力偶简化结果∶2.力偶系的合成M=∑MRMAB带有不平行二槽的矩形平板上作用一矩为M的力偶，今在槽内插入两个固定与地面的销钉，若不计摩擦则①平板保持平衡；②平板不能平衡；③平衡与否不能判断。分析和讨论3.力偶系的平衡条件∑M=0空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。=0∑Mx=0∑My=0∑Mz平衡方程平面力偶系的平衡方程∑M=0ABCDF1F4F3F2刚体是否平衡？想一想FrOM=Fr既然力偶不能与一力相平衡，为什么图中的圆轮又能平衡呢?一简支梁作用一力偶矩为M的力偶，不计梁重，求二支座约束力。（AB=d）解：以梁为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以FA=FB=M/dBAdMFAFB例题1dMBAFA=FB又∑M=0即－M+FA×d=0所以如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1=M2=10N.m，M3=20N.m；固定螺柱A和B的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。FA=FB解：∑M=0，例题2BAM2M1M3FAl－M1－M2－M3=0FAFB选工件为研究对象FA=FB=200N列平衡方程：横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。ABD45lM动脑又动笔选梁AB为研究对象ABM解：列平衡方程：ABD45lMFA=FBFAFB45o∑M=0，M－FAlcos45o=0FA=FB=√2M/l动脑又动笔如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和M2间的关系。BODαM1M2A动脑又动笔写出平衡方程：∑M=0BDM2FDFBAFOFABOM1A解：BODαM1M2A分别取杆OA和DB为研究对象。FAB=FBAM1－FABrcosα=0－M2+2FBArcosα=0M2=2M1动脑又动笔例题3工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。例题3将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。解：A例题3zxyAM2M1M3M4M545oMx=∑Mx=－M3－M4cos45o－M5cos45o=－193.1N·mMy=∑My=－M2=－80N·mMz=∑Mz=－M1－M4cos45o－M5cos45o=－193.1N·mMx2+My2+Mz2M==284.6N·mcos(M,k)=MzM=－0.6786cos(M,j)=MyM=－0.2811cos(M,i)=MxM=－0.6786图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F2）的矩M2=20N·m；力偶（F3，F3）的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例题4xzyOF3F2F1F1F2F31.画出各力偶矩矢。例题4解：xzyOF3F2F1F1F2F32.合力偶矩矢M的投影。xzy45°OM145°M2M3Mx=∑Mx=M1x+M2x+M3x=0My=∑My=M1y+M2y+M3y=11.2N·mMz=∑Mz=M1z+M2z+M3z=41.2N·m3.合力偶矩矢M的大小和方向。为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为xzy45°OM145°M2M3例题4M4.由∑M=0Mx2+My2+Mz2M==42.7N·mMcos(M,k)=Mz=0.965∠(M,i)=90ocos(M,j)=MyM=0.262cos(M,i)=MxM=0∠(M,j)=74.8o∠(M,k)=15.2oM4=－M力偶系本章内容小结基本概念力对点的矩力对轴的矩主矢主矩力偶力偶矩矢量力系等效定理力系平衡条件合力矩定理力矩关系定理基本定理力偶等效条件力偶系平衡条件基本方法力对点的矩计算力偶矩矢计算平衡方程的应用力对轴的矩计算主矢的计算主矩的计算基本矢量力矩矢主矢主矩力偶矩矢量本章内容结束