高数下册知识点

高等数学（下）知识点第1页共17页高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb，则),,(zzyyxxbabababa,),,(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0bazzyyxxbabababa2、向量积：bac大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则1）0aa高等数学（下）知识点第2页共17页2）ba//0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:zyxfS2、旋转曲面：（旋转后方程如何写）yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、柱面：（特点）0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、二次曲面（会画简图）1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）*单叶双曲面：1222222czbyax高等数学（下）知识点第3页共17页4）*双叶双曲面：1222222czbyax5）椭圆抛物面：zbyax22226）*双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22227）椭圆柱面：12222byax8）双曲柱面：12222byax9）抛物柱面：ayx2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程（法向量）1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx高等数学（下）知识点第4页共17页2、一般式方程：0DCzByAx（某个系数为零时的特点）截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程（方向向量）1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm高等数学（下）知识点第5页共17页21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形，定义域：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：高等数学（下）知识点第6页共17页2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234高等数学（下）知识点第7页共17页令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一）二重积分1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标X型区域：bxaxyxyxD)()(),(21，高等数学（下）知识点第8页共17页21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyyY型区域：dycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx*交换积分次序（课后题）2）极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、性质：3、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-----------投影法“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-----------截面法“先二后一”2）柱面坐标zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz3）*球面坐标*高等数学（下）知识点第9页共17页cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLifxysfs2、性质：1）[(,)(,)]d(,)d(,)d.LLLfxyxysfxysgxys2）12(,)d(,)d(,)d.LLLfxysfxysfxys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则(,)d(,)d.LLfxysgxys4）lsLd(l为曲线弧L的长度)3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt（二）对坐标的曲线积分高等数学（下）知识点第10页共17页1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在L上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、性质：用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(3、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLPxQyPQs.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数),(,),(yxQyxP在D上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd高等数学（下）知识点第11页共17页2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLPxQy在G内与路