考研数学一历年真题(2002-2011)版)

12002数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)exxdx2ln=_____________.(2)已知2e610yxyx,则(0)y=_____________.(3)02yyy满足初始条件1(0)1,(0)2yy的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型216yf,则a=_____________.(5)设随机变量),(~2NX,且二次方程042Xyy无实根的概率为0.5,则=_____________.二、选择题(每小题3分.)(1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:①),(yxf在点),(00yx处连续,②),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续,③),(yxf在点),(00yx处可微,④),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在.则有:(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④(2)设0nu,且1limnnun,则级数)11()1(11nnnuu为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(xf在R上有界且可导,则(A)当0)(limxfx时,必有0)(limxfx(B)当)(limxfx存在时,必有0)(limxfx(C)当0)(lim0xfx时,必有0)(lim0xfx(D)当)(lim0xfx存在时,必有0)(lim0xfx.(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3,2,1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)(xFX和)(yFY,则(A))(xfX＋)(yfY必为密度函数(B))(xfX)(yfY必为密度函数2(C))(xFX＋)(yFY必为某一随机变量的分布函数(D))(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数.三、(6分)设函数)(xf在0x的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(ff,当0h时,若)()0()2()(hofhbfhaf,试求ba,的值.四、(7分)已知两曲线)(xfy与2arctan0extydt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnfn.五、(7分))计算二重积分22max{,}exyDdxdy,其中}10,10|),{(yxyxD.六、(8分)设函数)(xf在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,),终点为(dc,).记dyxyfyyxdxxyfyyI]1)([)](1[1222,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab时,求I的值.七、(7分)(1)验证函数03)!3()(nnnxxy(x)满足微分方程exyyy.(2)求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数.八、(7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为}75|),{(22xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx2275.(1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(6分)已知四阶方阵1234(,,,)Aαααα,1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232ααα.若1234βαααα,求线性方程组xAβ的通解.十、(8分)设,AB为同阶方阵,(1)若,AB相似,证明,AB的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.3(3)当,AB为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(7分)设维随机变量X的概率密度为()fx1cos0220xxx其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3的次数,求2Y的数学期望.十二、(7分)设总体X的概率分布为X0123P2)1(2221其中(102)是未知参数,利用总体X的如下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(102)(coslimxxx=.(2)曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.(3)设)(cos02xnxaxnn,则2a=.(4)从2R的基1211,01αα到基1211,12ββ的过渡矩阵为.(5)设二维随机变量(,)XY的概率密度为(,)fxy60x01xy其它,则}1{YXP.(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布)1,(N,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(二、选择题(每小题4分,)(1)设函数()fx在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则()fx有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{nnncba均为非负数列,且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有4(A)nnba对任意n成立(B)nncb对任意n成立(C)极限nnncalim不存在(D)极限nnncblim不存在(3)已知函数(,)fxy在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx,则(A)点(0,0)不是(,)fxy的极值点(B)点(0,0)是(,)fxy的极大值点(C)点(0,0)是(,)fxy的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)fxy的极值点(4)设向量组I:12,,,rααα可由向量组II:12,,,sβββ线性表示,则(A)当sr时,向量组II必线性相关(B)当sr时,向量组II必线性相关(C)当sr时,向量组I必线性相关(D)当sr时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组0xA和0xB,其中,AB均为nm矩阵,现有4个命题:①若0xA的解均是0xB的解,则秩()A秩()B②若秩()A秩()B,则0xA的解均是0xB的解③若0xA与0xB同解,则秩()A秩()B④若秩()A秩()B,则0xA与0xB同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XYnntX,则(A)2~()Yn(B)2~(1)Yn(C)~(,1)YFn(D)~(1,)YFn三、(10分)过坐标原点作曲线lnyx的切线,该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.(2)求D绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积V.四、(12分)将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数012)1(nnn的和.五、(10分)已知平面区域}0,0),{(yxyxD,L为D的正向边界.试证:(1)sinsinsinsineeeeyxyxLLxdyydxxdyydx.(2)sinsin2ee2.yxLxdyydx六、(10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对5桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0kk).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)rr.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)七、(12分)设函数()yyx在),(内具有二阶导数,且)(,0yxxy是()yyx的反函数.(1)试将()xxy所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为()yyx满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.八、(12分)设函数()fx连续且恒大于零,)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF,ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(,其中}),,{()(2222tzyxzyxt,}.),{()(222tyxyxtD(1)讨论()Ft在区间),0(内的单调性.(2)证明当0t时,).(2)(tGtF九、(10分)设矩阵322232223A,010101001P,1*BPAP,求2BE的特征值与特征向量,其中*A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.十、(8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax,:2l032acybx,:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba十一、(10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(8分)设总体X的概率密度为()fx2()2e0x0xx其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21,记).,,,min(ˆ21nXXX(1)求总体X的分布函数()Fx.(2)求统计量ˆ的分布函数)(ˆxF.(3)如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.62004数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线lnyx上与直线1yx垂直的切线方程为__________.(2)已知(e)exxfx,且(1)0f,则()fx=__________.(3)设L为正向圆周222yx在第一象限中的部分,则曲线积分Lydxxdy2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为__________.(5)设矩阵210120001A,矩阵B满足**2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=__________.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则}{DXXP=__________.二、选择题(每小题4分)(7)把0x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A),,(B),,(C),,(D),,(8)设函数()fx连续,且,0)0(f则存在0,使得(A)()fx在(0,)内单调增加(B)()fx在)0,(内单调减少(C)对任意的),0(x有()(0)fxf(D)对任意的)