高等流体力学第5讲

第五讲气动函数及压力波一、气流参数（一）滞止参数如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。根据一元稳定绝能流动的能量方程式2211221122hvhv可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。如果把气流由速度v1=v（焓h1=h）绝能地滞止到v2=0，此时所对应的焓值h2就称为滞止焓，用符号h*表示，则*212hhv如果研究的是定热比容的完全气体，h=cpT，则式（9一22）可改pcvTT/212*（5－1）式中T*称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。将式(5—1)两边同除以T，则有2*2221111/1/()12212pkRkvTTvcTvTkc所以*211Ma2kTT（5－2）前面得到了滞止温度与温度的比与Ma数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p=ρRT和p*=ρRT*，两者相除则有***()()ppρρTT。（a）对等熵流动有p*/ρ*k=常数，p/ρk=常数，两者相比，则有**()kppρρ。（b）由式（a）和（b）可得图5-1滞止参数模型δQvpTδW滞止状态v=0p*T***2111()(1Ma)2kkkkkppTT（5－3）11**2111()(1Ma)2kkkρρTT（5－4）由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma数的函数。这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。也就是说，滞止参数是一个点函数。引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为*1*2hhwqs（5－5）对绝能流动而言，有**21hh或*h常数。由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为h*=cpT*，所以其滞止温度也保持不变。通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。（二）临界状态参数将c2=kRT及c*2=kRT*引入到绝能等熵的能量方程后，则有22*121cvkRTkk常数（5－6）由上式可知，c与v的关系函数满足椭圆方程，关系曲线如图5-2所示。从中可以看出，在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v=c或Ma=1的状态。气体动力学中称这种状态为临界状态，所对应的气流参数称为气流的临界状态参数，并标以下标cr，如pcr、Tcr、vcr和ccr等。显然，vcr=ccr。在式(5－6)中令c=v=ccr，则可得*21crckRTk。（5－7）max/(1)/(1)crvckk。（5－8）利用Ma数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得*/2/(1)crTTk，（5－9）*1/[2/(1)]kkcrppk，（5－10）1*1/[2/(1)]kcrρρk。（5－11）图5-2cv曲线vMa1Ma=1Ma1ccrocc*vcr=ccrvmax45o对空气，k=1.4，则有pcr/p*=0.5283。应该指出，在一元流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临界参数，如同在气流的每一个截面上都有相应的滞止参数一样。如果气流在某个截面上的Ma数恰好等于1，则该截面上的气流状态就是临界状态，该截面上气流的参数就是临界参数，该截面叫做临界截面。在绝能等熵流动过程中，因为沿流道所有滞止参数保持不变，所以所有的临界参数也保持不变。（三）速度系数在气体动力学中，除了用马赫数作为无量纲参数以外，往往也用气流速度与临界声速之比作为无量纲速度，称为速度系数，并用符号λ来表示，即crλvc（5－12）与Ma数相比，应用数的最大好处是，在绝能流动中，当气体速度趋于vmax时，c下降为零，Ma数趋于无穷大，这样在作图时v=vmax附近的情况就无法表示出来。而maxmax(1)(1)crλvckk（5－13）这样就消除了上述困难。2221Ma211Ma2kλk（5－14）或22221Ma111λkkλk（5－15）上述关系可以作成如图5-3所示的图线。可见，当Ma=0时，λ=0；当Ma1时，λ1(亚声速)；当Ma=1时，λ=1；当Ma1时，λ1(超声速)；当Ma→∞时，max(1)(1)λλkk。因此，λ数和Ma数一样也是表示亚声速或超声速气流的一个简单标志。另外，气流参数与滞止参数的比也可以用λ数来表示，把式（5－14)代入式（5－2、3、4），得到*21(1)1kTTλk（5－16）*211(1)1kkkppλk（5－17）1*211(1)1kkρρλk（5－18）Ma0111kkλ1图5-3～Ma曲线二、气体动力学函数及其应用从前面的分析中可以看出，气流滞止参数与气流参数之比可以用气流的Ma数或λ数的函数来表示。后面还将会看到，流量公式和动量方程式也可以用Ma数或λ数的函数表示出来。这些Ma数或λ数的函数叫做气体动力学函数。（一）函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)、在气体动力学中，令*21()11kτλTTλk（5－19）*211()(1)1kkkπλppλk（5－20）1*211()(1)1kkελρρλk（5－21）对空气(k=1.4)来说，函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)随λ数的变化如图5-4a所示，这三个函数均为单减函数。另外，这三个函数也可用Ma数表示如下：*21(Ma)1/(1Ma)2kτTT（5－22）*211(Ma)1/(1Ma)2kkkπpp（5－23）1*211(Ma)1/(1Ma)2kkερρ（5－24）函数τ(Ma)、π(Ma)和ε(Ma)随Ma的变化如图5-4所示。例5－3用风速管测得空气流中一点的总压p*=9.81×104Pa，静压p=8.44×104Pa，用热电偶测得该点空气流的总温T*=400K，试求该点气流的速度v。解：由式（5－22）可得4*48.4410()0.869.8110πλpp。由气动函数表（k=1.4）查得λ=0.5025，则气流速度为π(λ),ε(λ),τ(λ)λ00.40.81.21.62.0τ(λ)ε(λ)π(λ)0.20.40.60.81.0(a)2.4图5-4函数π,ε,τ曲线Ma00.51.01.52.02.53.03.5(b)τ(Ma)ε(Ma)π(Ma)0.20.40.60.81.0π(Ma),ε(Ma),τ(Ma)*21crvλcλkRTk1.40.50252287.06400187m/s1.41。（二）流量函数气动计算中往往是先给定气流的滞止参数和λ数(或Ma数)，如果直接按公式mρAv来计算流量，则必须先根据给定的滞止参数和λ数求出v和ρ。但这佯计算是很麻烦的，下面我们就来寻求用λ函数表示的流量公式。由流量公式可得()crcrcrcrρvmρAvρvAρv，11*211*/11(1)(1)11/kkcrcrcrρvρρkkλλλkkρvρρ，1121111()(1)21kkkkλλk。将上式用q(λ)表示，并称为流量函数，即1121111()()(1)21kkkkqλλλk（5－25）则有()crcrmqλρvA。式中ρcr和cvr均可表示为11**11*22()()11kkcrpρρkRTk，*21crcrkvcRTk。所以有**()pmKAqT（5－26）其中1112kkkRkK。对空气，k=1.4，R=287.4J/(kg·K)，则K=0.0404。q(λ)随λ数的变化如图5-5a所示。当λ=0时，q(λ)=0；当λ=1时，q(λ)=1，取最大值；当λ=λmax时，q(λ)=0。由此可见，q(λ)在临界截面处取最大值。流量函数q(λ)也可以表示成Ma数的函数q(Ma)，q(Ma)随Ma数的变化如图5-5b所示。引入流量函数后，一元稳定流动的连续方程又可表示为**()pmKAqλT常数（5－27）由式(9－54)，在绝能等熵流动的条件下，由于p*和T*保持不变，则有()Aqλ常数（5－28）由此可以得出下列重要结论:1.当气流为亚声速（λ1）时，由图5-5可见，随λ数的增大，q(λ)也随之增大，因此，相应的流管截面积必须减小。所以，对亚声速流动讲，流管截面积减小时流速增大；流管截面积增大时则流速减小。2.当气流为超声速(λ1)时，随λ数的增大，q(λ)却减小，因此，相应的流管截面积必须增大。所以，对超声速流动，流管截面积增大时，流速增大；流管截面积减小时，则流速减小。3．当λ=1时，q(λ)达到最大值，相应的截面积应该是流管的最小截面积。即对绝能等熵流动而言，临界面必是流管中的最小截面。但这只是必要条件，也就是说流管的最小截面并不一定是临界截面。从上述结论可以知道，要将气流绝能等熵地由亚声速流动加速为超声速流动，管道必须做成先收缩后扩张的形状，即拉伐尔喷管，如图9－11所示。关于这个问题的细节将在后面讨论。有时候已知条件不是气流的滞止压力而是气流压力，此时流量公式中的q(λ)可用另一个气动函数y(λ)来代替。**()()()pqλpAmKAKyλπλTT，（5－29）在图5-5a中也给出了y(λ)随λ数的变化情况。例5－4有一扩压器(见图5-7)，设出口截面积和进口截面积之比A2/A1=2.5，己知进口截面上空气流的λ1=0.80，求出口截面积上空气流的λ2。0.60.41.00.2Ma0.800.81.62.4λy()q()(a)01.02.03.00.20.40.60.81.0q(Ma)(b)y()q()图5-5函数q曲线解：因为流动是绝能等熵的，故T*1=T*2及p*1=p*2。由式（5－29）可得**1212**12()()pApAqλqλTT。故1212()()AqλqλA由气动函数表(k=1.4)查得，当λ1=0.80时，q(λ1)=0.9518。代入上式，则得20.9518()0.3802.5qλ由图5-5a可以看出，由q(λ)值找λ数时，一个q(λ)值可以找到两个λ数，一个小于1，一个大小1，究竟取哪一个要由其它条件决定，根据上面的q(λ2)值，从表上可以查出两个λ2值为0.247或1.825。因为λ1=0.80，说明扩压器进口为亚声速气流，如前所述，对于亚声速气流，流管截面积增大的流速减小，故扩压器出口λ1λ2，因此，应取λ2=0.24。三、弱扰动在气流中的传播前面我们已经知道，弱扰动相对于气体是以声速向周围传播的。本节将研究弱扰动在气流中的传播规律，特别是在超声速气流中的传播规律。现在先讨论最简单的情况，即弱扰动在静止气体中的传播规律。假定有一个静止的弱扰动源位于o点，如图5-8a所示，它在气体中所产生的扰动是以球面波形式向周围传播的。如果介质的粘性耗散不予考虑的话，随着时间的推移，这个扰动可以传播整个流场。显然，在不同时刻发出的扰动将构成一系列同心球面。如果气体不是静止的，而以小于声速的速度流动着，则弱扰动的传播规律有些变化。此时，扰动源所发出的弱扰动波仍然是一系列球面波，但是，由于气体在流动，并且带着扰动波向下波移动，各时刻球面波的运动情况如图5-8b所示。此时，逆流方向的传播速度为c－v，顺流方向的传播速度为c+v，其他方向上的传播速度介于c－v和c+v之间。由此可见，弱扰动波在亚声速气流中仍可逆流传播，即在亚声速气流中弱扰动泼可以传遍整个流场。如果气流恰好以声度c流动，则弱扰动的传播情况如图5-8c所示。在逆流方向上，弱扰动波的传播速度