教案-导数的应--极值(典型例题含答案)

教案4：导数的应用（2）--极值一、课前检测1.函数9x3axx)x(f23,已知)x(f在3x时取得极值,则a的取值是()A.2B.3C.4D.5答案：D2.函数y=x-sinx,,2x的最大值是()A.-1B.2-1C.D.+1答案：C3.已知()fx=3211632xxx，当x[－1，2]时，()fxm恒成立，则实数m的取值范围是______.答案：631m二、知识梳理可导函数的极值⑴极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有（或），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值．称0x为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数)(xf；②求方程)(xf＝0的；③检验)(xf在方程)(xf＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：⑴设y＝)(xf是定义在区间[a,b]上的函数，y＝)(xf在(a,b)内有导数，则函数y＝)(xf在[a,b]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：①求y＝)(xf在(a,b)内的值；②将y＝)(xf的各值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递增，则)(af为函数的，)(bf为函数的；若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递减，则)(af为函数的，)(bf为函数的.三、典型例题分析例1．函数y=1+3x－x3有（）A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值3解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时,y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.答案：D变式训练1：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-4,令)(xf=0,得x=-2,x=32.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-232,2321,321y′+0-0+y8单调递增↗13单调递减↘2795单调递增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795例2．（2006.北京）已知函数32fxaxbxcx在点x0处取得极大值5,其导数y='()fx的图象经过点(1,0),(2,0)（如图所示）。求:(1)x0的值;(2),,abc的值.评析与简答:本题凸显了对同学们读图、识图以及捕捉图形信息能力的考查。（1）由2'32fxaxbxc的图像与x轴的交点为1,0,2,0,立判在x=1的两侧导数值“左正右负”且'(1)0f①，所以01x；（2）导函数图像还可得'(2)0f②，再加f(1）=5③，解①②③联立的方程组，得2a、b=－9、c=12（利用根系关系亦可）。变式训练：（2008福建）设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()xyO12ABCD答案：C例3．已知函数)0()23()(23adxbacbxaxxf的图像如图所示。(1)求dc,的值；(2)若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（3）若0x=5，方程axf8)(有三个不同的根，求实数a的取值范围。答案：（1）0,3cd；（2）32693fxxxx（3）1311a变式训练：已知x∈R,求证：ex≥x+1.证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：x01oxy3xyyxyxyxO12O12O1212