分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。用式子表示：bdacdcba（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。用式子表示：2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。用式子表示：（其中n为正整数，a≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcadcdbadcbannnbaba多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示：2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bdbcadbdbcbdaddcba。2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）bcabcba有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。例计算：（1）212242aaaa；（2）222xxx；（3）xxxxxx2421212【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例计算2312xxx+4222xxx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1xxx+)2)(2()2(xxxx=21x+2xx=21xx2、分离整数技巧例计算233322xxxx-657522xxxx-3412xx分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=231)23(22xxxx-651)65(22xxxx-3412xx=1+2312xx-1-6512xx-3412xx=)2)(1(1xx-)3)(2(1xx-)3)(1(1xx=)3)(2)(1()2()1(3xxxxxx=)3)(2)(1(xxxx=-)3)(2)(1(xxxx3、裂项相消技巧例计算)1(1xx+)3)(1(2xx+)6)(3(3xx分析：此类题可利用)(1mnn=m1（n1-m1）裂项相消计算。解：原式=（x1-11x）+22（11x-31x）+33（31x-61x）=x1-61x=)6(6xx练习：4、分组计算技巧例计算21a+12a-12a-21a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（21a-21a）+（12a-12a）=442a+142a=)1)(4(1222aa练习：5、分式求值问题全解1）字母代入法例1.b=a+1,c=a+2,d=a+3,求daddcbccbabdaa的值.【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简daddcbccbabdaa=3332122113aaaaaaaaaaaaaa=32363233132aaaaaaaa=)2(32)1(31323aaaaaaa=31311=35【探讨】当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。2）设值代入法例2.已知czbyax，求证：22axcabcabzxyzxy【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到xaby，xacz，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到ax、by、cz连等，让它们都等于k则x=aky=bkz=ck代入得cabcabzxyzxy=cabcabckakbkckakbk=2kcabcabcabcab=222axk【探讨】当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设czbyax则（1）xaby，xacz（2）设kczbyax则x=aky=bkz=ck（3）设kczbyax则kcbazyx其中0cba3）整式代入法例3.已知：113ab，求分式232aabbaabb的值.【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得3abab，再将分式稍化简变为abbaabba)(3)(2，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-aabab343336)(3)(2232abababababbaabbababababa【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。4）变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。例4（方程变形）.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求2abbccab的值.【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组a+b+c=0b=-2c==a+2b+3c=0a=c用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来2abbccab=434222222cccc例5（非负变形）.已知：2286250abab，求22222644aabbaabb的值.【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式0)3()4(25682222bababa其中0)4(2a0)3(2b所以2)4(a=02)3(b=0得3,4ba再带入原式很容易求出解。例6（对应变形）.证明：若a+b+c=0,则2222222221110.bcacababc【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用22)(cba代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c代入222acb中的a，得到-2bc用b=-a-c代入222bac中的b，得到-2ac用c=-a-b代入222cba中的c，得到-2ab原式=02212121abccbaabacbc例7（倒数变形）.已知,,,0.xyxzyzabcabcxyxzyz且求证abacbcabcx2【解析】已知条件是yxxy的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将ayxxy改写成yxxyyxa111的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件。写出变化后的形式yxa111，zxb111，zyc111xzxyxzyc2)11()11(111=xba211所以cbax1112=abcabacbc则abacbcabcx2，得证。例8（归类变形）.已知accbba111，且a、b、c互不相等，求证：1222cba【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：bccbbcba11，可以发现分式形式大致消失了，剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来bccbba,acaccb,abbaac左边和左边相乘，右边和右边相乘得222))()(())()((cbabaaccbaccbba，所以1222cba【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简化简结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。【练习】1、已知222223,2342abcabcbaabc则的值等于（）（设值代入）A．12B.23C.35D.19242、若a2+b2=3ab,则(1+33322)(1)bbabab的值等于（）（整式代入）A．12B.0C.1D.233、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：111abc＜0.（非负变形）4、已知：a+b+c=0.求证：11111130.abcbcacab（代数式归类变形）5、已知abc=1，求证：1111caccbbcbaaba（对应变形）