第八章复合材料细观力学基础

第八章复合材料细观力学基础§8-1引言复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不均匀的。前几章中复合材料“模量”和“强度”的含义是什么？平均值，等效——均匀材料复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。复合材料的结构分析涉及两个尺度：宏观的，平均意义的量微观的，涉及组分属性和微结构分布模量、强度组分的含量、形状、结合状态等细观力学建立二者之间的关联§8-2有效模量理论一、有效模量理论1、宏观均匀、代表性体积单元复合材料中的增强体的几何分布可以是规则的（如图），也可以是不规则的。总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此研究其某些性能时，只须取其一代表性体积单元（representativevolumeelement）来研究即可代表总体，见图。RVE的要求：1、RVE的尺寸整体尺寸，则宏观可看成一点；2、RVE的尺寸纤维直径；3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。vvVff纤维体积分数：fv—纤维总体积；v—复合材料体积注意：只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。二、复合材料的应力、应变及有效模量（复合材料）（均匀等效体）vijijvv0d1klijklijC*vijijvv0d1按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：平均应力平均应变则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：*ijklC定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，总体模量）jijixsu0)(jijinsT0)(三、有效模量理论1、边界条件：（不能随意！）①均匀应变边界条件：②均匀应力边界条件：0ijij0ijij2、可证明的两个特性：①在给定均匀应变边界下，有：②在给定均匀应力边界下，有：证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。0d1ijvijijvvvijijvv0d1klijklijC*3、有效模量理论jijixsu0)(1）给定均匀应变边界条件而*ijklC其中为复合材料的有效模量。其应变能为：vCvUklijijklvijij*21d21此时，复合材料的应变能也为：vCvUklijijklvijij*21d2100d1ijvijijvvvijijvv0d1jijinsT0)(2）给定均匀应力边界条件而klijklijC*ij*ijklC则由，只需求得，即可求得3）有效模量的严格理论解只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严格的理论解。则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。一、长纤维复合材料§8-3有效模量的材料力学半经验解法llmf11E（一）纵向有效模量采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：（下标f、m表示纤维和基体）mmffvijmmvijffvijijVVvvvvvvvvdvvmf)()(d1d11mmffVV1mmmfffEEE,,111mmffVEVEE1mf1所以有而利用称为纵向有效模量的混合律。mmffVV222mmffVV2121（二）纵向泊松比RVE的纵向应变关系式：1两边同时除以，可得：mmffVV1212G（三）纵横（面内）剪切模量在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下关系：mmffGVGVG121mmmfffGGG,,121212mf12以代入上式，并假设有，可得：（倒数混合律）mmffVV22E（四）横向有效模量222fm设而由平均值关系有：222222222,,fffmmmEEEmmffEVEVE221（倒数混合律）12G2E12fG2fE可通过和的计算公式可反算和。（五）Halpin-Tsai方程mmffVEVEE1mmffVV21单向纤维增强的单层的五个有效模量分别由下式计算：mfmfMMMM1ffmVVMM1123122,或GE（M表示）其中：：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于相几何和载荷条件。*babaGElog73.1log,2122对矩形（ab）截面纤维，22E112GfV对圆截面纤维，方形排列，中等值时，另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增强单层的纵向和横向有效模量的计算：计算E1时，取：baE21计算E2时，取：22E二、短纤维复合材料（一）单向短纤维复合材料TLEE,只讨论纵向和横向模量（）。2)2tanh(1llVEVEELmmffLL1、修正复合法则（修正混合定律）L其中表示纤维长度有效因子。212)ln(2fffmrRrEG)(长（短）TTEEmGfrfV其中为基体剪切模量，为纤维半经，R为纤维间距，l为纤维长度，R与纤维的排列方式和有关。fTfTmTfLfLmLVVEEVVdlEE12112121;21mfmfTmfmfLEEEEdlEEEE2、Halpin-Tsai方程dl2此时，对L取：2对T取：dlTE上式表明与纤维长比无关，可见单向短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合材料的相同。)1(fmffLoRandomVEVECETLRandomEEE8583（二）随机分布短纤维复合材料1、修正混合律：2、基于halpin-Tsai的经验公式：oC即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料为面内各向同性。§8-4有效模量的其他力学模型解一、复合圆柱模型fVconstba/a）复合圆柱族模型1E21b）求和23Kc）求12Gd）求mmffmmfmfmmffGKVKVvvVVVEVEE1)(421mmffmfmmfmfmmffGKVKVKKvvVVVV1)11)((21mmmmffmGKVKKVKK123可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：1、2、3、（平面应变体积模量）)1()1(12fmmfmmffmVGVGVGVGGG4、23G5、可由三相模型求得：23G利用在r处施加纯剪均匀应力边界条件下，两者（a）和（b）的应变能相等来确定。具体见《复合材料力学》（周履等）P250-256！二、Eshelby夹杂模型1、Eshelby等效夹杂理论*klPijD-异质夹杂同质等效夹杂*kl：特征应变设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为01000;ijijklklklCijij)()(*0000klklklijklklklIijklijijIijCC而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引起的扰动应力和扰动应变，即：则夹杂中的应力场可表示为*ij其中，称为等效特征应变。*ijijklijS)()(*000klklklijklklklIijklCC由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变的关系为：其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的值。利用等效夹杂理论有：（*）将（*）代入该式则可求得特征应变，进而求得夹杂内外的弹性场。2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测2a1322b011ij01111011设沿1方向作用均匀应力1E12求和因为材料内部有：表示平均值。ij只需求得材料内的平均应变即可求得该材料的有效模量。*0ijijijf由Eshelby夹杂理论可得：*ij其中f为纤维体积分数；即特征应变。)()(0*00*cklklijklklcklklijklklijklcijCCS*ij对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明在夹杂内部是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：ijklSckl0kl其中为Eshelby张量；为因夹杂的出现而形成的干扰应变；为无限远处的均匀应变；)1()(011*11*1101101111111fEfEm0ijklC为基体材料的弹性张量；ijklC为夹杂的弹性张量。*ij联解上式可得到。由此可得：11221222若求出，则：1321322、斜向纤维情况：321先在坐标系下求得：*ij*ij（方法同前）然后利用坐标变换求得（为θ角的函数）11111E112212仍利用和求有效模量，注意此时的模量为θ角的函数。3、随机分布短纤维复合材料：20*20*)(21ddijij011*11*22112211011randomE1122random)(**ijij对不同的θ角，按前述方法求得其然后对其求对于θ得平均值：在作用下可求得和，进而求得和。最后可得：注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。011ij由前面的分析可知vijijdvv01npppijijVV1)(1三、数值计算方法（有限元法）；而该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：p为离散的单元号，n为单元总数。1122只需求出了和，即可得：110111E112212对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的体积代表性单元，如：cccca)alignedfibermodelb)tiltedfibermodel单向短纤维复合材料的理想化模型yFiberyInterfacecSozcxdMatrixlLSa)Longitudinalsectionb)Transversesection三维代表性体积单元所有的计算都是基于上述代表性体积单元。对随机分布短纤维复合材料的处理方法与前一致。不同的方法得到的结果不同，见下表。复合材料Vf混合律H-T方程夹杂理论FEM测量-Al2O3f/Al-5.5Mg-Al2O3f/Al-5.5Zn-Al2O3f/Al-12Si0101520010152001020--8593102--8593102--85102--768084--768084--7684--788388--788388--7888--81.487.793.9--81.487.793.9--81.493.97078.1~80.285.2~89.894.2~97.27078.987.4~89.294.8~95.67073.6~75.080.6§8-5复合材料强度的细观力学分析§8-5-1长纤维复合材料的强度材料力学分析一、纵向拉伸强度XmmffcVV)1()(maxmaxfmffcVVXXf)1(maxfmcVXc由图a所示模型的平衡，复合材料的应力与纤维和基体应力的关系为：maxffX当复合材料的破坏由纤维控制，即纤维达到其破坏应变（对应的应力为）时，复合材料达到应力极限值为：（*）0f但当纤维破坏后（时），基体将承担全部载荷，此时复合材料的极限应力为：fcfVVVminmcXmax由图c可见：minVVfmaxmaxcc1、当时，复合材料强度由基体控制minVVfmaxmaxcc2、当时，复合材料强度由纤维控制3、当时，说明复合材料强度低