共面向量定理

3．1.2共面向量定理课前自主学案温故夯基1．平面上有____和____的量叫做向量，方向____且模____的向量称为相等向量．2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足____律和____律．大小方向相同相等交换结合1．共面向量已知向量a，作OA→＝a，如果OA→的基线平行于平面α，记作______，通常我们把平行于同一平面的向量，叫做__________．2．共面向量定理共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得__________.a∥α共面向量c＝xa＋yb知新益能推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数组(x，y)，使_________________，或对空间任意一点O，有____________________.MP→＝xMA→＋yMB→OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb，因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.问题探究课堂互动讲练考点突破证明三个向量共面证明三个向量共面，只需利用共面向量定理即可．设向量AB→、CD→分别在两条异面直线上，M、N分别为线段AC、BD的中点，求证：向量AB→、CD→、MN→共面．例1【思路点拨】证明存在x，y使得MN→＝xAB→＋yCD→.【证明】MN→＝MA→＋AB→＋BN→，MN→＝MC→＋CD→＋DN→，以上两式相加，并注意MA→＋MC→＝0，BN→＋DN→＝0，得2MN→＝AB→＋CD→，即MN→＝12AB→＋12CD→，∴AB→、CD→、MN→共面．【名师点评】如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a、b不共线”的要求．利用共面向量的推论是证明四点共面的依据．证明四点共面已知非零向量e1、e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，AC→＝2e1＋8e2，AD→＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．例2【思路点拨】要证明AB→、AC→、AD→共面，即只要证明存在三个非零实数λ、μ、v，使λAB→＋μAC→＋vAD→＝0即可．【证明】令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ＋2μ＋3v＝0，λ＋8μ－3v＝0，易知λ＝－5μ＝1，v＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC→＋AD→＝0，∴A、B、C、D共面．另证：观察易得AC→＋AD→＝(2e1＋8e2)＋3(e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB→，∴AB→＝15AC→＋15AD→.由共面向量知，AB→、AC→、AD→共面．又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．【名师点评】要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．自我挑战1已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面．(1)OB→＋OM→＝3OP→－OA→；(2)OP→＝4OA→－OB→－OM→.解：(1)原式可变形为OP→＝OM→＋(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＝OM→＋PA→＋PB→，∴OP→－OM→＝PA→＋PB→.∴PM→＝－PA→－PB→.∴P与M、A、B共面．(2)原式可变形为OP→＝2OA→＋OA→－OB→＋OA→－OM→＝2OA→＋BA→＋MA→，∴AP→＝－AO→－AB→－AM→，表达式中还含有AO→.∴P与A、B、M不共面．证明线面平行，其实质还是证明三向量共面．证明线面平行(本题满分14分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD.例3【思路点拨】本题可转化为证明向量EF→与平面SAD内的两个不共线向量共面．【规范解答】EF→＝EA→＋AS→＋SF→.而F是SC的中点，底面正方形ABCD中DC→＝AB→，因此SF→＝12SC→＝12(SD→＋DC→)＝12(SD→＋AB→)＝12SD→＋12AB→.6分又E是AB的中点，12AB→＝AE→＝－EA→，所以EF→＝AS→＋EA→＋12SD→－EA→＝－SA→＋12SD→.10分又SA→与SD→不共线，可知EF→、SA→、SD→共面．又EF不在平面SAD内，所以EF∥平面SAD.14分【名师点评】向量共面的条件是证明线面平行的一种重要、常用的方法，其基本方法是将直线与平面平行问题转化为直线上的向量与平面内两个不共线向量共面的问题，同时要说明该直线不在平面内．自我挑战2如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E是PD的中点．求证：PB∥平面AEC.证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝a，∵PB→＝PD→＋DA→＋AB→＝2ED→＋DC→＋DA→＝(ED→＋DA→)＋(ED→＋DC→)＝EA→＋EC→，∴PB→，EA→，EC→共面．又PB⊄平面EAC，∴PB∥平面AEC.1．空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面，也可能不共面，共面向量定理给出了三个向量共面的充要条件.2．共面向量定理给出了判断线面平行的方法，以及判定四点共面的方法．方法感悟3．判断直线与平面平行，通常利用判定定理，证明平面外一条直线平行于平面内一条直线，证明过程中线线平行有时需通过添加辅助线得到，因此方法不好用．而用共面向量定理来证明线面平行，只需考虑一个向量用平面内两不共线向量来表示，可以避免添加辅助线，从而把不易掌握的证明问题转化为向量的计算问题．4．判断四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，而得到向量共面，进而得到四点共面．3．1.3空间向量基本定理课前自主学案温故夯基1．平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么对平面内任一向量p，存在_____的有序实数对(x，y)，使p＝_______.2．平面内的任意一个向量p都可以用_____________________来表示(平面向量基本定理)．惟一xa＋yb两个不共线的向量a，b1．空间向量基本定理：如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的___________________，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3____表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个____，e1、e2、e3叫做______．知新益能有序实数组(x，y，z)线性基底基向量3．如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂直的，那么这个基底叫做__________．4．设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在_____的有序实数组{x，y，z}，使得____________________.正交基底惟一OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→空间的基底是惟一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一．问题探究课堂互动讲练考点突破基底的概念构成空间一个基底的充要条件是三个向量不共面．因此要证明三个向量不共面，通常用反证法．(本题满分14分)已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OP→＝2e1－e2＋3e3，OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，能否以{OA→，OB→，OC→}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP→.例1【思路点拨】可先用反证法，判断OA→，OB→，OC→是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．【规范解答】假设OA→，OB→，OC→共面，据向量共面的充要条件有：OA→＝xOB→＋yOC→，2分则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1.此方程组无解.6分∴OA→，OB→，OC→不共面.8分∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．设OP→＝mOA→＋nOB→＋zOC→，有：2e1－e2＋3e3＝m(e1＋2e2－e3)＋n(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(m－3n＋z)e1＋(2m＋n＋z)e2＋(－m＋2n－z)e3.∴m－3n＋z＝2，2m＋n＋z＝－1，－m＋2n－z＝3.12分∴m＝17，n＝－5，z＝－30.∴OP→＝17OA→－5OB→－30OC→.14分【名师点评】判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断．自我挑战1若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．利用数形结合的思想方法，将需要表示的向量用与其相关联的其他向量表示，充分利用三角形法则或平行四边形法则，直至转化为只用基向量表示．利用基底表示其他向量已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC→成定比2，N分PD→成定比1，求满足MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→的实数x、y、z的值．例2【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD为矩形．②PA⊥面ABCD.③M、N分别为PC→、PD→的定比分点．解答本题应结合图形，从向量MN→出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB→、AD→、AP→表示出来，即可求出x、y、z的值．【解】法一：如图所示，取PC的中点E，连结NE、AC，则MN→＝EN→－EM→.∵EN→＝12CD→＝12BA→＝－12AB→，EM→＝PM→－PE→＝23PC→－12PC→＝16PC→，又PC→＝AC→－AP→＝AB→＋AD→－AP→，∴MN→＝－12AB→－16(AB→＋AD→－AP→)＝－23AB→－16AD→＋16AP→，∴x＝－23，y＝－16，z＝16.法二：MN→＝PN→－PM→＝12PD→－23PC→＝12(PA→＋AD→)－23(PA→＋AC→)＝－12AP→＋12AD→－23(－AP→＋AB→＋AD→)＝－23AB→－16AD→＋16AP→，∴x＝－23，y＝－16，z＝16.【名师点评】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解．空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是惟一的．解：OP→＝OM→＋MP→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋23(ON→－12OA→)＝16OA→＋23×12(OB→＋OC→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→.OQ→＝OM→＋MQ→＝12OA→＋13MN→＝12OA→＋13(ON→－OM→)＝12OA→＋13(ON→－12OA→)＝13OA→＋13×12(OB→＋OC→)＝13OA→＋16OB→＋16OC→.1．