无穷限的广义积分无界函数的广义积分

15.4常义积分广义积分2121xdx积分限被积函数有限有界推广广义积分(反常积分)121xdx无穷限的广义积分1021xdx无界函数的广义积分25.4.1无穷限的广义积分引例.曲线和直线右边曲边梯形的面积1limblimblimb1211dbxx1()x1(1)b1b及x轴所围成的开口21xdx3定义5.2设()fx,ba取若存在,则称此极限记作这时称广义积分收敛;若上述极限则称广义积分发散.类似地,若则定义为f(x)的无穷限广义积分,不存在,[,)a在连续()fx(,]b在连续4则定义()fx若(,)在连续,若和都收敛,则收敛否则只要有一个发散,就称发散.的原函数,则有类似的牛–莱公式()dafxx()Fxalimx()Fx()Fa()dbfxx()Fxb()Fblimx()Fx()dfxx()Fxlimx()Fxlimx()Fx5例5.33计算广义积分解:arctanx()22limxarctanxlimxarctanx21413xx收敛12arctan33x32213(2)x6判别下列例3各广义积分的敛散性,如果收敛,计算广义积分的值21x收敛1x121yx1x发散ln1yx1x发散2x1yx例5.36证明无穷限积分1px当p≤1时,广义积分发散.1.1p当p1时,广义积分收敛,其值为7例3.tpte解:1pttpe1p00(0)p1dtppedtpet0dtpetpttpedtpet1tppeC21tppe21p21tppe计算广义积分80dx0dx411x并求其值解:令1tx0240d1ttt40d1xx012241xx4111t21()dtt练习试证xxx40d1xx240d1xxx0121arctan222)21(xxd(1)xx01d2x1[2]241d1xxx12xx0122[2()]295.4.2无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与x轴,开口曲边梯形的面积y轴0limt0limt0limt211dtxx2x(22)t1t和直线10定义5.3设()fx在点a的存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若在b的左邻域内无界,若极限为函数f(x)则则称此极限(],ab在连续,()fx[),ab在连续,右邻域内无界,在(a,b]上的广义积分,记作a为无界间断点,()fxa为瑕点,11若被积函数注意而在点c的无界函数的积分无界点常称邻域内无界,()dcafxx()dbcfxx()dtafxxlimct为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义limct()dbtfxx又称作第二类广义积分,只有限个第一类除点c连续,xabctt在积分区间上12注意:若瑕点的计算表达式:()dbafxx()Fb()dbafxx()Fb()dbafxx()Fb则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则(,),cab则()dbafxx()Fb()Fc可消去吗?的原函数,xabc不可消去()Fa()Fxba()Fxba()Fa()Fxba()Fa()Fc()Fa13111211dxx1121x下述解法是否正确:,∴积分收敛例5.38计算广义积分解:原式arcsinxaarcsin12例5.41讨论广义积分的收敛性.解:0211dxx1201dxx所以广义积分发散.0a瑕点为a,所以因为0211dxx1x0114无界函数p积分当p1时收敛;时发散p≥1当p1时收敛;时发散.p≤1无穷限p积分1px1pyx1p1p1p证:lnx当p≠1时1p1,1p1p,101px1p当p=1时,瑕点为0,10所以当p1时,收敛,其值为11p当p≥1时,发散.15判别下列练习各广义积分的敛散性,如果收敛,计算广义积分的值收敛21x121xxx=11201d(1)xx2211d(1)xx11x所以广义积分发散.x=11010为瑕点为瑕点因为1201d(1)xx162dx227页3题1(ln)kxx2当k为何值时,广义积分2dx收敛？当k为何值时,广义积分发散？当k为何值时,广义积分取得最小值？1(ln)kxx1(ln)kxd(ln)x()Ik(1)Ilnlnx发散1k11(1)(ln)kkx1k11(1)(ln2)kk1k1k时,广义积分收敛.1k时,广义积分发散22172dx227页3题续当k为何值时,广义积分取得最小值？1(ln)kxx()Ik1k11(1)(ln2)kk1k1,tk令求其最大值.()(ln)2,tftt0,t()ft(ln2)t2()lntt只有一个驻点2lnlntk时，()(1ln2ln2ln)tt广义积分取得最小值21lnln121lnln180dx227页2题利用递推公式计算广义积分xnxenI解nIdxe0nxnxxe0xednxnxxe10nnx1nnI0dxxe0Ixe1nI1nI2(1)nnI212II021I!nIn1000dxex19例7.设解：求故I为广义积分.2()d1()fxxfx2d()1()fxfxarctan()fxC021()d1()fxxfx322()d1()fxxfx为)2)232arctan227x1302012032的瑕点，()0f()2f()0f()2f20说明:可以互相转化.例如222111xxx100(2)当一题同时应划分积分区间,分别讨论广义积分(1)有时通过换元,和常义积分x=110dxd(1)xx2)21(xx2d2tt含两类广义积分时,每一区间上的广义积分.为瑕点21内容小结1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的广义积分1p1p1q,,11,(1)ppa1px22作业作业本写上班级，姓名，学号227页习题5-41.单数4.5.6.