工程数学_3

§5可逆矩阵一、逆矩阵的概念与性质1.定义5.1AB=BA=E则称B为A的逆矩阵，并称A可逆。设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B使例如：,5221A1225B有12255221100152211225所以B是A的逆阵，同时A也是B的逆阵。例5.1设a11a22…ann0,nnaaa221100nnnEaaa112211100由于：12211nnaaa001122111nnaaa00所以例5.2若方阵A1A2…Am均可逆，可证121mAAA0011211mAAA00定理5.1(唯一性)若方阵A的逆矩阵存在，则唯一，用A－1表示证：设B、C均是A的逆矩阵，则B所以A的逆矩阵唯一。=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C2.逆矩阵的求法之一：矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*称为A的伴随矩阵定义5.2:设A=(aij)n×n,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n);可得：AA*=A*A||000||000||AAA=|A|E定理5.2*1||1AAA且方阵A是满秩矩阵A存在逆矩阵例5.3求矩阵5221A的逆矩阵解：015221||A故A可逆，又A11＝5，A12＝－2，A21＝－2，A22＝1则1225*A所以*1||1AAA1225例5.4设A是可逆阵，证明：(1)若AX=AYX=Y(2)若AB=0B=0证：A－1(AX)=A－1(AY)(A－1A)X=(A－1A)YEX=EYX=Y(1)AX=AY由所以(2)由AB=0，有A－1(AB)=A－10所以B=0(A－1A)B=03.逆矩阵的性质(1)若A，B均为n阶方阵，且AB=E(或BA=E)，则B＝A－1证：|A||B|=|E|=1|A|0A－1存在，且A－1=A－1E=A－1(AB)=(A－1A)B=EB=B设AB=E同理可证BA=E的情形(2)(A－1)－1=A(3)若A可逆，0为常数，则111)(AA(4)若A，B均为n阶可逆矩阵，则(AB)－1=B－1A－1。特别：当|A|0，有(Am)－1=(A－1)m(m为正整数)若A1，A2，…，Am均为n阶可逆矩阵，则(A1A2…Am)－1=Am－1…A2－1A1－1推广：证明：因为(AB)(B－1A－1)=AEA－1=E所以(AB)－1=B－1A－1=A(BB－1)A－1(5)||1||||11AAA这是因为|A－1||A|=|E|=1二、初等行变换求逆矩阵(方法二)1.初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵),()],([1jiPjiP))1(())](,([1iPiP))(,())](,([1jiPjiP定理5.3若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵P1,P2,…Pm,使A=P1P2…Pm证：因为A可逆，则r(A)=n，标准形为En，A=P1P2…PmP1P2…PsEPs+1…Pm=A即存在有限次初等变换使A化为En，有限次初等变换使En化成A，反之，也存在P1，P2，…，Pm，使故存在有限个初等矩阵11121PPPm表示为：A=P1P2…PmEAE11121PPPmA－1(AE)(EA－1)初等行变换例5.4设,343122321A求A－1.解：100343010122001321)(EAr2－2r1r3－3r1103620012520001321111100012520011201111100563020231001r1－2r3r2－5r31111002/532/3010231001)21(2r)1(3rr1+r2r3－r2故1112/532/32311A对A也可通过初等列变换求A－1EA初等列变换1AEA=P1P2…Pm注：表示为：11121PPPmEAEA－111121PPPm对于n元线性方程组AX=B则X＝A－1B|A|0，A－1存在若三、逆矩阵的应用1.解线性方程组例5.5解方程组x1+2x2+3x3=12x1+2x2+x3=13x1+4x2+3x3=3解：方程组简记为,343122321A,311B,321xxxXX=A1B由于|A|=20,A可逆，故AX=B其中而,111253232311A321xxxXBA111125323231311398即x1=8,x2=9,x3=3.2解矩阵方程315241213124021X例5.6解矩阵方程解：矩阵方程简记为AX=B31524121312402111BAX17213124021A0A－1存在31524165212112451713563716615171例5.7解矩阵方程AX+E=A2+X其中：,101020101AE为三阶单位矩阵解：由AX+E=A2+X即(AE)X=(AE)(A+E)得AXX=A2E,001010100EA而所以AE可逆.故X=A+E100010001101020101201030102(AE)X=(AE)(A+E)所以(A－E)－1(AE)X=(A－E)－1(AE)(A+E)§1空间向量及其线性运算一、向量概念1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.ABa特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.以A为起点,B为终点的向量,记为AB,,a.a向量AB的大小叫做向量的模.记为||AB||或.||||a3.自由向量ab自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.,ba与当向量大小相等且方向相同,记作相等与称.baba二、向量的加减法1.定义1.1.向量加法.(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作ba、ba与.baba、baab(2)三角形法则baab将之一平行移动,使的起点与的终点重合,则由的起点到的终点所引的向量为ba、aba.bab2.向量加法的运算规律.(1)交换律:abbabaabccbcba(2)结合律:)()(cbacba例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3.向量减法.(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量.记作aa.aaa(2)向量减法.规定:)(baba平行四边形法则.将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为ba、ba和.ba三角形法则.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为ba、.baabbaabbaabbba三、数与向量的乘法1.定义1.2:实数与向量的为一个向量.aa乘积其中:||||||||||aa当0时,;同向与aa当0时,;反向与aa当=0时,.,它的方向可以是任意的oa2.数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:auauau)()()((2)分配律:auaau)(baba)(a(0)aa(0)结论:设表示与非零向量同向的单位向量.aa则aaa||||或||||||||1aaaaa定理1.1:两个非零向量平行ba与.ba存在唯一实数，使得例1.1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=ab试用表示向量MA,MB,MC,和MD.ba和其中,M是平行四边形对角线的交点.解:ba由=AC=2MC有MC=)(21ba又=BD=2MDab)(21ab有MD=MB=MD)(21)(21baab)(21baMA=MCabDABCM四.向量在轴上的投影1.点在轴上投影设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A'叫做点A在轴u上的投影.A'Au2.向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B.定义1.3:B'BA'Au向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段AB为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，xeBA则称x为向量AB在轴u上的投影，记作ABjuPr即xABjuPr则向量AB的投影向量A'B'有：B'BA'Aue3.两向量的夹角设有非零向量ba,(起点同).b),(baa规定：正向间位于0到之间的那个夹角为的夹角,记为或),(ba),(abba,ba,(1)若同向，则ba,0),(ba(2)若反向，则ba,),(ba(3)若不平行，则ba,),0(),(ba4.向量的投影性质.定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则PrjuAB=||AB||·cosBBAAuB1定理1.3两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定理1.4:实数与向量的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量在该轴上的投影。aa一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系ozxyzxyx轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o§2空间直角坐标系与空间向量的坐标表示2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQPM(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz二、空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则x=0;在zx面上,则y=0;在xy面上,则z=0.(2)若点M在x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在