工程数学线性代数课后答案 同济第五版

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667第五章相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化(1)931421111),,(321aaa解根据施密特正交化方法11111ab101],[],[1112122bbbabab12131],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab(2)011101110111),,(321aaa解根据施密特正交化方法110111ab123131],[],[1112122bbbabab433151],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab2下列矩阵是不是正交阵:68(1)121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)979494949198949891解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)201335212;69解3)1(201335212||EA故A的特征值为1(三重)对于特征值1由000110101101325213~EA得方程(AE)x0的基础解系p1(111)T向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.(2)633312321;解)9)(1(633312321||EA故A的特征值为102139对于特征值10由000110321633312321~A得方程Ax0的基础解系p1(111)T向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21,由000100322733322322~EA得方程(AE)x0的基础解系p2(110)T向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39由00021101113333823289~EA70得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/21/21)T向量p3就是对应于特征值39的特征值向量(3)0001001001001000.解22)1()1(001010010100||EA故A的特征值为121341对于特征值121由00000000011010011001011001101001~EA得方程(AE)x0的基础解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341由00000000011010011001011001101001~EA得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量71类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|解令()3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)3231812已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|解因为|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A172A*3A2E6A13A2E令()61322则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取PA则P1ABPA1ABABA即AB与BA相似14设矩阵50413102xA可相似对角化求x解由)6()1(50413102||2xEA得A的特征值为16231因为A可相似对角化所以对于231齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解因此R(AE)1由00030010140403101)(~xxEAr知当x3时R(AE)1即x3为所求15已知p(111)T是矩阵2135212baA的一个特征向量(1)求参数ab及特征向量p所对应的特征值解设是特征向量p所对应的特征值则(AE)p0即0001112135212ba解之得1a3b0(2)问A能不能相似对角化？并说明理由73解由3)1(201335212||EA得A的特征值为1231由00011010111325211~rbEA知R(AE)2所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:(1)020212022;解将所给矩阵记为A由20212022EA(1)(4)(2)得矩阵A的特征值为122134对于12解方程(A2E)x0即0220232024321xxx得特征向量(122)T单位化得T)32,32,31(1p对于21,解方程(AE)x0即0120202021321xxx得特征向量(212)T单位化得T)32,31,32(2p对于34,解方程(A4E)x0即740420232022321xxx得特征向量(221)T单位化得T)31,32,32(3p于是有正交阵P(p1p2p3)使P1APdiag(214)(2)542452222解将所给矩阵记为A由542452222EA(1)2(10)得矩阵A的特征值为121310对于121解方程(AE)x0即000442442221321xxx得线性无关特征向量(210)T和(201)T将它们正交化、单位化得T0)1,,2(511pT5),4,2(5312p对于310,解方程(A10E)x0即000542452228321xxx得特征向量(122)T单位化得T)2,2,1(313p于是有正交阵P(p1p2p3)使P1APdiag(1110)17设矩阵12422421xA与y45相似求xy并求一个正交阵P使P1AP解已知相似矩阵有相同的特征值显然54y是的特征值故它们也是A的特征值因为4是A的特征值所以750)4(9524242425|4|xxEA解之得x4已知相似矩阵的行列式相同因为100124242421||Ayy2045||所以20y100y5对于5解方程(A5E)x0得两个线性无关的特征向量(10