柯西留数定理及其应用

淮北师范大学2013届学士学位论文柯西留数定理及其应用学院、专业数学科学学院、数学与应用数学研究方向函数论学生姓名刘军学号20091101089指导教师姓名张杰指导教师职称副教授2013年4月15日柯西留数定理及其应用刘军(淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000)摘要本文首先通过介绍柯西留数定理的重要性、定义及证明过程,然后进一步研究柯西留数定理在一些广义积分中的应用.此后,通过一些实例结合自己的学习体会做出应用柯西留数定理在一些复杂定积分中的巧妙运算,目的是使我们在掌握定积分基本运算方法之后,熟悉一些复杂定积分,如反常积分、广义定积分的一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力.接着研究柯西留数定理在级数求和中的应用,最后研究柯西留数定理在其他方面的应用.关键词留数定理,广义积分,定积分,级数求和CauchyresiduetheoremanditsapplicationsLiuJun(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,huaibei,235000)AbstractThisarticlefirstlyintroducetheimportanceofthecauchyresiduetheorembasis,definitionandtheprocessofproof,andthenstudiestheapplicationsofthecauchyresiduetheoreminsomegeneralizedintegrations.Sincethen,throughingsomeexamplescombinedwithownlearningexperiencetomaketheapplicationofthecauchyresiduetheoremincomplexskillfuloperationofdefiniteintegration,thepurposeistomakefamiliarwithsomecomplexdefiniteintegrationafterwemasterthebasicoperationmethodofdefiniteintegration,suchasimproperintegration,someofthegeneralizedintegrationandcleveroperationmethods,strengthenthesolvingabilityofsomeproblems.Thenstudytheapplicationsofthecauchyresiduetheoreminseriessummation,andthecauchyresiduetheoreminotherapplicationsfinally.Keywords：residuetheorem，thegeneralizedintegration，definiteintegration，seriessummation目录引言……………………………………………………………………………………1一、柯西留数定理的理论基础………………………………………………………1二、柯西留数定理的概念及其证明…………………………………………………4三、柯西留数定理的应用……………………………………………………………4（一）辐角原理……………………………………………………………………4（二）在广义积分中的应用………………………………………………………7（三）在级数求和中的应用………………………………………………………11（四）柯西留数定理的推广应用…………………………………………………12结束语…………………………………………………………………………………15参考文献………………………………………………………………………………15致谢……………………………………………………………………………………161引言柯西留数定理是《复变函数论》中留数理论中的一个重要定理,利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算,探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用,可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分,尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将其划归为复变函数的周线积分,再把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决.柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点,如何在教学中突出重点,化难为易,是教学研究的重要内容之一.一、柯西留数定理的理论基础在复分析中,通过对函数的罗朗级数负幂项的系数与函数曲线积分的关系研究,得出函数在孤立奇点的留数概念,因此产生了留数理论,而利用留数理论来计算围线积分,特别是计算复杂的实积分,提供了一种工具,而作为留数理论中的一个最基本、最重要的定理——柯西留数定理,是柯西积分定理和柯西积分公式的推广而来的,是计算解析函数沿闭曲线路径积分的一个有力工具.下面先介绍留数理论中的基本概念——留数.（一）留数的定义定义11设()aa是函数()fz的孤立奇点,若函数()fz在0zaR内解析,则称积分1()2cfzdzi为()fz在孤立奇点a的留数,记作Re(,)sfa,其中c为圆周(0)zaR.注（1）由上述定义可以看出,Re(,)sfa只有当点a是函数()fz的孤立奇点时才有意义.（2）留数Re(,)sfa与圆c的半径无关.由11()Re(,)2ccfzdzsfai,可以2得到Re(,)sfa等于()fz在点a的罗朗展式中1za这一项的系数.（3）若a为()fz的可去奇点,则Re(,)0sfa.在此,要介绍另一个概念——对数留数.定义21称积分'1()2()cfzdzifz为函数()fz的对数留数,其中c为一条围线,()fz在c上解析且不为零,()fz在c的内部为亚纯函数.由于'()(ln())()fzdfzfzdz,所以称上面的积分为对数留数.显然,函数()fz的零点和极点都可能是'()()fzfz的奇点.这个定义将在柯西留数定理的应用——辐角原理中起到很大的作用.下文中会具体介绍.（二）留数的计算对于留数的计算,有以下几种方法：1、直接使用定义,通过计算函数的曲线积分而直接得到函数在某一点的留数,该方法主要有理论上的价值,实际计算中一般不用.2、利用1Re(,)sfac,把函数()fz在点a展成罗朗级数,其中的系数1c即为函数()fz在点a的留数Re(,)sfa.例1设函数241()zefzz,求Re(,0)sf和Re(,)sf.解由于44325114122()2234!!nnnzfzzzzn(0)z,所以4Re(,0)3sf.又0z是唯一有限奇点,故304Re()Re()3zzsfzsfz.3、设b是()fz的一级极点,则.例2设函数61()(1)zfzzz,求Re(,1)sf.解由于161lim(1)50(1)zzzzz,且61(1)zzz在点1的某个去心邻域中解析,从而1z是()fz的一级极点,所以161Re(,1)lim(1)5(1)zzsfzzz.4、设a是()()()zgzz的一级极点,()z、()z均在a解析,且()0a,'()0a,()0a,则()Re(,)'()asgaa.例3设函数52()(1)zhzzz,求Re(,0)sh.解易知0z是函数()hz的一级极点,令()52zz,()(1)zzz,可得(0)20,'(0)10,(0)0所以(0)2Re(,0)2'(0)1sh.5、设a是()fz的一个m级极点，则111Re(,)lim[()()](1)!mmmzadsfazafzmdz.例4设函数3sin()zfzz,求Re(,0)sf.4解易知0z是函数()fz的3级极点,所以223220011Re(,0)lim(())limsin02!2zzddsfzfzzdzdz.通过以上的几种留数求法可以看出,在以后遇到的具体问题中要具体对待,更要学会灵活运用.二、柯西留数定理的概念及证明柯西留数定理1设D是复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线C.设()fz在D内除去有限个孤立奇点1z,2z,…,nz外,在每一点都解析,并且它在DDC上除1z,2z,…,nz外连续,则1()2Re(,)nCkkfzdzisfz.证以D内每一个孤立奇点kz为心,作圆周k,使以它为边界的闭圆盘含在D内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D中除去以这些k为边界的闭圆盘得到一个区域G,其边界是C以及k（1k,2,…,n）.()fz在G内解析,()fz在G上连续.因此由文献[1]中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有1()()knCkfzdzfzdz,而()2Re(,)kkfzdzisfz(1,2,,)kn,所以1()2Re(,)nCkkfzdzisfz.三、柯西留数定理的应用（一）辐角原理在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得：引理11（1）设a为()fz的n级零点,则a必为'()()fzfz的一级极点,并且5'()Re(,)()fzsanfz;（2）设b为()fz的m级极点,则b必为'()()fzfz的一级极点,并且'()Re(,)()fzsbmfz.引理21假设（1）C为一条围线,()fz在C的内部是亚纯的,且连续到C;（2）()fz在C上不为零;则函数()fz在C的内部只有有限个零点和极点.由上述的两个引理,易证：定理11假设（1）C为一条围线,()fz在C的内部是亚纯的,且连续到C;（2）()fz在C上不为零;则:'1()(,)(,)2()CfzdzNfCPfCifz①其中(,)NfC与(,)PfC分别表示()fz在C内部零点的个数与奇点的个数（一个n级零点算作n个零点,一个m级奇点算作m个奇点）.为了进一步说明①式的意义,我们给出下面的定理.定理2（辐角原理）1假设（1）C是一条围线,()fz在C的内部是亚纯的,且连续到C;（2）()fz在C上不为零;则'1()1arg()(,)(,)2()2CCfzdzfzNfCPfCifz,其中1arg()(,)(,)2CfzNfCPfC表示z沿C的正向绕行一周时,函数()fz辐角的改变量.特别若()fz在C内部解析,则1(,)arg()2CNfCfz.下面就辐角原理的具体应用,结合实例具体分析.6例1设()(1)(3)(5)gzzzzz,:4Cz,用辐角原理证明()gz在C的内部有3个根.解()gz在曲线C上没有零点,在C内解析,在C内部有3个零点,而没有奇点,所以(,)(,)3NfCPfC.另一方面arg()(1)(3)(5)CCCCCfzzzzz2226.于是1arg()(,)(,)2CfzNfCPfC.由此可以看出,在一些题目的计算中,辐角原理是个很便捷而有效的工具.而其中一个较重要的应用就是儒歇定理,它在考察零点分布时会起到很大的作用.下面就儒歇定理的应用做具体介绍.定理32（儒歇定理）设C是一条周线,函数()fz及()z满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,()()fzz;则函数()fz与()()fzz在C的内部有同样多(几阶算作几个)的零点,即(,)(,)NfCNfC.例2设()z在:1Cz内部解析,且连续到C,在C上()1z.试证:在C内部只有一个点0z使00()zz.证设()fzz,()()gzz则在C上有()()1()gzzzfz由儒歇定理知,()fz与()()(