向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

1向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图1如图1，已知P为ABC内一点，则0BPCAPCAPBPASPBSPCS奔驰定理证明：若'''0PAPBPC，则'''PABC为重心，不妨设''',,xPAPAyPBPBzPCPC0xPAyPBzPC(1)''''''''11||||||||sinsin22PBCPBCPBCSxSPBPCSPBPCBPCBPCyzyzxyz同理可得''PACPACySSxyz，''PABPABzSSxyz''''''PBCPACPABSSS又::::PBCPACPBCxyzSSS(1)0BPCAPCAPBPASPBSPCS式可化为奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位2向量的关系，将它们放入单位圆中。图2如图2，已知PABC为单位圆，，，在圆上，APBPCP、、所对的角分别为，，则sinsinsin0APBPCP真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。于是整个定理就得到了证明。二、奔驰定理在向量中应用3例1、若ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3450OAOBOC,则该ABC的面积为。答案：56答案解析：由奔驰定理得：345OBCOACOABSxSxSx设，，例2、【2016年清华领军】::4:3:2AOBBOCCOAOABCSSSAOABAC若为内一点，满足，设，则+=答案：23例3、PABC为内部一点，且满足|PB|=2，|PA|=2，56APB，且2340APPBPC，则ABC的面积为（）9461835ABCD、、、、答案：98三、奔驰定理推广4推广1、如果P不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x轴上方为正，下方为负图3如图3，已知P为平面内一点，则0BPCAPCAPBPASPBSPCSEX·奔驰定理这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX·奔驰定理】。那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下。推广2、【EX·奔驰定理-A】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？推广3、【EX·奔驰定理-B】将三角形改为棱锥，P为顶点，结论是否依旧成立？若不成立，需要如何修改？