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第3章力系的合成和平衡第3章力系的合成和平衡3.1平面一般力系的简化3.2平面力系的平衡问题3.3静定与静不定问题及物体系统的平衡3.5平面力系的重心和形心思考与练习第3章力系的合成和平衡3.1平面一般力系的简化3.1.1力的平移定理力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。设在刚体上作用一力F，如图3-1所示，由经验可知，当力F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。第3章力系的合成和平衡图3-1第3章力系的合成和平衡力的平移定理作用于刚体上某点的力，可以平行移动到刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移点的力矩的转动方向。证明如图3-2(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点，要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F，如图3-2(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F,F″)。于是，原来作用在A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一个附加力偶(F,F″)所取代，如图3-2(c)所示，此附加力偶的力偶矩大小为FdMMB)(F（3-1）第3章力系的合成和平衡图3-2第3章力系的合成和平衡根据力的平移定理，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的区别和联系:一个力不能与一个力偶等效，但一个力可以和另一个与它平行的力及一个力偶的联合作用等效。第3章力系的合成和平衡图3-3第3章力系的合成和平衡3.1.2图3.4＝(a)1FA1A2OF2F1FnAnyO2FnFMnM1M2x＝yOMORFx(b)(c)(d)(e)RFOOdRFFROOdFR第3章力系的合成和平衡1.力系的主矢平移力组成的平面汇交力系的合力,称为原平面任意力系的主矢。作用点在简化中心O点，大小等于各分力的矢量和，即iinRFFFFFF'''2'1'''2'1,,,nFFF'RF（3.2）在平面直角坐标系中，则有yRyxRxFFFF''（3.3）'RF第3章力系的合成和平衡xyyxRyRxRFFFFFFFtan)()()()(222'2''(3.4)式中，Fx,Fy分别为主矢FR′和各力在x,y轴上的投影；FR′为主矢的大小；α为FR′与x轴所夹的锐角，FR′的指向由∑Fx和∑Fy的正负来确定。,,''RyRxFF第3章力系的合成和平衡2.力系的主矩附加的平面力偶系M1=MO(F1），M2=MO(F2),…,Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点的主矩，MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即MO=M1+M2+…+Mn=∑MO(Fi)=∑Mi（3.5）值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原力系中各力的矢量和，也就是说主矢与简化中心的位置无关；而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，一般来说主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。主矢与主矩的共同作用才与原力系等效。第3章力系的合成和平衡3.1.3简化结果的讨论(1)FR′≠0,MO≠0。根据力的平移定理的逆过程，可将主矢FR′与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、方向与主矢FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距，如图3.4（e）所示。此合力FR与原力系等效，即平面任意力系简化为一个合力。(2)FR′≠0,MO=0。原力系与一个力等效，即原力系可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心O。'||ROFMd第3章力系的合成和平衡(3)FR′=0,MO≠0。原力系与一个力偶等效，即原力系可简化为一个合力偶。合力偶矩等于主矩，此时，主矩与简化中心O的位置无关。(4)FR′=0,MO=0。原力系处于平衡状态，即原力系为一平衡力系。第3章力系的合成和平衡【例3.1】如图3.5（a）所示，正方形平面板的边长为4a，在板上A、O、B、C处分别作用有力F1,F2,Ｆ3,F4，其中F1=F,,F3=2F,F4=3F。求作用在板上此力系的合力。FF222第3章力系的合成和平衡主矢的大小为FFFFFFRyRxR2)()(222'2''主矢的方向为45,1tanFFFFxy由于∑Ｆx和∑Fy都为正，主矢FR′指向第一象限。解（1）选O点为简化中心，建立如图3.5（a）所示的直角坐标系，求力系的主矢和主矩。由式（3.2）、(3.3)、(3.4)和式（3.5）可得：FFFFFFFFFFFFFFFFFFFyyyyyRxxxxxxRx00232204321'4321'第3章力系的合成和平衡主矩的大小为MO=∑MO(Fi)=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)+MO(F4)=F1a+0+F3×2a-F4×a=Fa+4Fa-3Fa=2Fa主矩的转向为逆时针方向。第3章力系的合成和平衡图3.5aF1yF2OxCF4BF3AayO＝RFMOxyOxFRdD＝(a)(b)(c)第3章力系的合成和平衡（2）由于FR′≠0，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可将主矢FR′与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与主矢FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距d222'FFaFMdRO力系合力的作用线通过D点，如图3.5（c）所示。第3章力系的合成和平衡3.2平面力系的平衡问题3.2.1平面一般力系的平衡条件和平衡方程由上节的讨论结果可知，如果平面一般力系向任一点简化后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡。反之，要使平面一般力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于零。因此，平面一般力系平衡的必要与充分条件为:FR′=0，MO=0。即0)(,022'iOOyxRFMMFFF第3章力系的合成和平衡由此可得平面任意力系的平衡方程为0)(00FMFFOyx式（3.6）是平面一般力系平衡方程的基本形式，也称为一力矩式方程。它说明平面一般力系平衡的解析条件是:力系中各力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。(3.6)第3章力系的合成和平衡【例3.2】如图3.6（a）所示为简易起吊机的平面力系简图。已知横梁AB的自重G1=4kN，起吊总量G2=20kN，AB的长度l=2m；斜拉杆CD的倾角α=30°，自重不计；当电葫芦距A端距离a=1.5m时，处于平衡状态，试求拉杆CD的拉力和A端固定铰链支座的约束反力。第3章力系的合成和平衡（2）建立直角坐标系，列平衡方程。0sin00cos002sin0)(2121CDAyyCDAxxCDAFGGFFFFFaGlGlFFM(a)(b)(c)解（1）以横梁AB作用在横梁上的主动力:在横梁中点的自重G1、起吊重量G2。作用在横梁上的约束反力:拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的约束反力FAx、FAy，如图3.6（b）所示。第3章力系的合成和平衡图3.6CAalG2G1D2lCyFAyAFAxG2G1BxFCD(a)(b)第3章力系的合成和平衡（3）由式(a)得kNaGlGlFCD342sin121将FCD代入式（b）得kNFFCDAx44.29cos将FCD代入式（c）得kNFGGFCDAy7sin21FCD、FAx、FAy都为正值，表示力的实际方向与假设方向相同；若为负值，则表示力的实际方向与假设方向相反。第3章力系的合成和平衡（4）讨论。本题若写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程，则同样可求解。即由0cos00)(20)(02sin0)(2121CDAxxAyiBCDiAFFFalGlGlFFMaGlGlFFM解得FCD=34kN,FAx=29.44kN,FAy=7kN第3章力系的合成和平衡若写出对A、B、C三点的力矩方程02tan0)(0)(20)(02sin0)(212121aGlGlFFMalGlGlFFMaGlGlFFMAyiCAyiBCDiA则也可得出同样的结果。第3章力系的合成和平衡由上面例题的讨论可知，平面一般力系的平衡方程除了式（3.6）所示的基本形式以外，还有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下:0)(0)(00iBiAyxFMFMFF或(3.7)其中A、B、C三点不能共线。0)(0)(0)(FMFMFMCiBiA(3.8)其中A、B两点的连线不能与x轴（或y轴）垂直。第3章力系的合成和平衡由上面例题可知，求解平面一般力系平衡问题的步骤如下:1）取研究对象，根据问题的已知条件和未知量，选择合适的研究对象；取分离体，画出全部作用力（主动力和约束反力）。2）选取投影轴和矩心，为了简化计算，通常尽可能使力系中多数未知力的作用线平行或垂直于投影轴；尽可能把未知力的交点作为矩心，力求做到列一个平衡方程解一个未知数，以避免联立解方程，但是应注意，不管列出哪种形式的平衡方程，对于同一个平面力系来说，最多能列出三个独立的平衡方程，因而只能求解三个未知数。第3章力系的合成和平衡3）解平衡方程，将已知条件代入方程求出未知数。但应注意由平衡方程求出的未知量的正、负号的含义，正号说明求出的力的实际方向与假设方向相同，负号说明求出的力的实际方向与假设方向相反，不要去改动受力图中原假设的方向。必要时可根据已得出的结果，代入再列出的任何一个平衡方程，检验其正误。第3章力系的合成和平衡3.2.2力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行,则称平面平行力系。若选择直角坐标轴的y(或x)轴与力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影均为零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)。于是平行力系只有两个独立的平衡方程，即0)(0iOxyFMFF或（3.9）式（3.9）为平面平行力系的平衡方程，它表明平面平行力系平衡的必要和充分条件是力系中各力在与力平行的坐标轴上的投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零或二力矩式:0)(0)(iBiAFMFM(A、B两点连线不能与各力平行)（3.10）第3章力系的合成和平衡【例3.3】塔式起重机如图3.7（a）所示，已知轨距为4m，机身重G=500kN，其作用线至机架中心线的距离为4m；起重机最大起吊载荷G1=260kN，其作用线至机架中心线的距离为12m;平衡块G2至机架中心线的距离为6m，欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡块重G2；当平衡块重G2=600kN时，试求满载时轨道对轮子的约束反力。解（1）取起重机为研究对象，画受力图。主动力:机身重力G，起吊载荷G1，平衡块重G2。约束反力:轨道对轮子的约束反力FA、FB。受力图如图3.7（b）所示。第3章力系的合成和平衡（2）列平衡方程，求平衡块重。①满载时的情况。满载时，若平衡块太轻，起重机将会绕B点向右翻倒，在平衡的临界状态时，FA等于零，平衡块重达到允许的最小值Ｇ2min。∑MB(Fi)=0G2min×(6+2)-G×(4-2)-G1×(12-2)=0G2m