三角函数的图像及三角模型的简单应用复习课件

考纲要求1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．热点提示1.高考中出现选择题、填空题、解答题都有可能，出小题时多考查函数的图象与性质，出大题时，常与平面向量、解三角形等知识相结合，试题难度为中低档．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是高考考查的重点，有时直接考查，更多地是通过三角恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式进行考查.1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.图象变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．方法一：先平移后伸缩．3．给出图象，求解析式y＝Asin(ωx＋φ)(1)给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．(2)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．(3)将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A、ω、φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的最高点)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的最低点)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.5．三角函数模型的常见应用(1)三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题时有着广泛的应用．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以考虑借助三角函数来描述，三角函数模型的常见类型有：①航海类问题．涉及方位角概念，方位角指的是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．还涉及正、余弦定理．②与三角函数图象有关的应用题．③引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题，即求最值．④三角函数在物理学中的应用．(2)常用处理方法①根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．③利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．1．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在区间[0,2π]的图象如下：那么ω＝()A．1B．2C.12D.13解析：由图象可知，函数周期T＝π，ω＝2πT＝2，故选B.答案：B2．(2008·山东高考)函数y＝lncosx(－π2xπ2)的图象是()解析：由已知得0cosx≤1，∴lncosx≤0，排除B、C、D，故选A.答案：A3．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s＝10sin(12t－π4)，t∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________，初相是________．解析：由它们的定义可知，周期为4π，频率为14π，振幅为10，相位是12t－π4，初相是－π4.解析：由已知P点离水面的距离的最大值为17，∴A＝10.又水轮每分钟旋转4圈，∴T＝604＝15，∴ω＝2π15.4．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A0，ω0)，则A＝________，ω＝________.5．试说明如何由函数y＝sinx的图象得到函数y＝2sin(13x－π6)的图象．解：先把函数y＝sinx的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到y＝sin(x－π6)的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(13x－π6)的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin(13x－π6)的图象．【例1】(2009·天津卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π.为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度思路分析：根据给出的最小正周期可以确定ω的值，由于要得到的是余弦函数的图象，再根据诱导公式把已知函数的解析式变换成余弦函数的形式，根据三角函数图象变换的规则解决即可．解析：∵最小正周期为π，即2πω＝π，得ω＝2，∴函数f(x)＝sin(2x＋π4)＝cos[π2－(2x＋π4)]＝cos(π4－2x)＝cos(2x－π4)＝cos2(x－π8)，要想得到函数g(x)＝cos2x的图象，只要把f(x)的解析式中的x换成x＋π8即可，根据三角函数图象变换规则知，把函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度即可，故选A.答案：A这个题目与教材上讲解y＝Asin(ωx＋φ)的图象时的例习题一样，只是这里进行了“逆向设计”，教材上是从y＝sinx讲解怎样变换为y＝Asin(ωx＋φ)的，本题恰好相反.变式迁移1(2009·山东卷)将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A．y＝cos2xB．y＝2cos2xC．y＝1＋sin(2x＋π4)D．y＝2sin2x解析：所得解析式是y＝sin2(x＋π4)＋1＝cos2x＋1＝2cos2x，故选B.答案：B【例2】(2009·宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如下图所示，则φ＝________.思路分析：由图象可以看出其半周期的大小，再根据图象可以确定一个函数值，通过列三角函数方程就可以求出φ的值．解析：函数的半周期是2π－3π4＝5π4，即12×2πω＝5π4，故ω＝45.又当x＝2π时即函数值等于1，故有sin(45×2π＋φ)＝1，得45×2π＋φ＝2kπ＋π2，即φ＝2kπ－11π10(k∈Z)，由－π≤φπ，取k＝1，即得φ＝9π10，故填9π10.据三角函数图象求y＝Asin(ωx＋φ)＋h的解析式，主要解决四个数值A，ω，φ，h.A和h由函数图象的最高点、最低点确定，ω由三角函数的周期确定，φ由函数图象的位置确定．解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．一般情况下这类题目中ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，事实上，如果φ0是满足条件的一个φ值，那么2kπ＋φ0都是满足条件的φ值，故这类题目一般都会限制φ的取值范围.变式迁移2函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|2π，x∈R)的部分图象如下图所示，则函数的解析式为()A．y＝－4sin(π8x－π4)B．y＝－4sin(π8x＋π4)C．y＝4sin(π8x－π4)D．y＝4sin(π8x＋π4)解析：由图象可知，A＝4，T2＝8，2πω＝16，∴ω＝π8，设y＝4sin(π8x＋φ)，代入最低点坐标(2，－4)，可得sin(π4＋φ)＝－1，∴π4＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋5π4，k∈Z.满足条件一个φ＝5π4，即φ＝5π4，∴y＝4sin(π8x＋5π4)＝4sin(π8x＋π＋π4)＝－4sin(π8x＋π4)．故选B.答案：B【例3】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω0，|φ|π2)的图象的一部分如下图所示：(1)求f(x)的解析式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．思路分析：(1)函数的最大值为3，最小值为－1，周期T＝π，从而A，b，ω可求，再代入(π6，3)，可求φ值．(2)根据y＝sinx的对称轴方程得到所求的对称轴方程．解：(1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，则A＝3－(－1)2＝2，b＝3－12＝1，又T＝2(23π－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，将x＝π6，y＝3代入上式，得sin(π3＋φ)＝1，∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π6＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1.(2)由2x＋π6＝π2＋kπ得x＝π6＋12kπ，k∈Z，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1的对称轴方程为x＝π6＋12kπ，k∈Z.变式迁移3(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：根据题意3cos(2×4π3＋φ)＝0，由此得2×4π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ－13π6(k∈Z)．当k＝2时，φ＝－π6，此时|φ|最小，故选A.答案：A【例4】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据知周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6，由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为12，∴y＝12cosπ6t＋1.思路分析：由表中数据依次求出b，A，ω得解析式，再由图象及函数的单调性可求得第(2)问．(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋11，∴cosπ6t0，∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，即12k－3t12k＋3①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定的8∶00至20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即9∶00至15∶00.将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：①审题：把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”；②描点画图，建立数学模型；③求出三角函数解析式；④利用函数的性质进行解题.变式迁移4如右图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7米．解：(1)设此人相对于地面的高度为h，时间为t，则有h＝12＋10sinπ10t(t≥0)；(2)由h＝12＋10sinπ10t≤7得，sinπ10t≤－12，所以7π6≤π10t≤11π6，即706≤t≤1106，∴1106－706＝406＝203，此人相对于地面的高度不超过7米的时间大约为7秒．1．图象变换(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．注意：在平移变换中，平移的单位长度是看x(或y)平移了多少．如果系数不为1，应先提取，然后再判断．(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的