工程流体力学讲义

第六章理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动§1流体微团运动法分析§2速度环量和漩涡强度§3速度势和流函数§5基本的平面势流§6有势流动叠加§7理想流体的漩涡运动理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。§6－1流体微团运动分析流体微团的运动：平移转动变形转动平移变形角变形线变形一.平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d，经过dt时间后该四边形移到a’、b’、c’d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y二.线变形在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过Δt时刻后由b点的和d点的作用下，会产生线变形。udxxvdyyxabcdyuvu+∂udx∂xv+∂vdx∂xdy∂uudx+u∂xy+u+∂udy∂ydx∂vvdy+v∂yx+v+∂vdy∂yb’a’c’d’∂udxdt∂x∂vdydt∂y定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用ε表示。由定义有：xudxdtuxdxdtxyvyzwz三个方向的线变形讨论b点的和d点的作用，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。三.角变形vdxxudyyb’a’c’d’ΔαΔβudydtyvdxdtxabcdyuvu+∂udx∂xv+∂vdx∂xdy∂uudx+u∂xy+u+∂udy∂ydx∂vvdy+v∂yx+v+∂vdy∂y定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用θ表示。由定义有：()()1()222zuvdtuvyxdtdtyx1()21()2yxuwzxwvyz为三个平面内的角变形四.转动：假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度d’b’a’c’ΔβΔαvdxdtxudydtyabcduvu+∂udx∂xv+∂vdx∂xdy∂uudx+u∂xy-u-∂udy∂ydx∂vvdy+v∂yx+v+∂vdy∂yudydtuydtdyyvdxdtvxdtdxx图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以ω表示。()2zdt代入和1()21()21()2zyxvuxyuwzxwvyz有或xyzijk当称无旋流或势流。00称有旋流或涡流。流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：uxvyuyvx流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？例：如图所示，流体各个微团以速度,0ukyvw解：1()22zvuKxy1()02xwvyz1()02yuwzx平行于x轴作直线流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。§2速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度的方向重合。由涡线定义得涡线方程：xyzdxdydz2.涡管在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度是变化的。二.漩涡强度：在涡量场中任取一微元面积，上流体质点的旋转角速度向量为，为的法线方向，微元面积上的漩涡强度用表示dAdAdAdIn定义：ndAnA2cos()2ndIndAdA对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：2nAIdA当在A上均布,则有：n2nIAnA——称为涡通量漩涡强度等于2倍的涡通量。I三、速度环量定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为，在该曲线上取一微元段为沿微元线段上的环量。VVdsdscosdVdsVdsds与之间的夹角为α，则称dsαABcosVV曲线AB上的环量为：cosBBABAAVdsVdscosLLVdsVds若曲线AB是封闭曲线，则环量为：LVα将矢量、分别表示：VdsVuivjwkdsdxidyjdzkLLVdsudxvdywdz故对封闭周线L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。例：不可压缩流体平面流动的速度分布为，求绕圆的速度环量。6,8uyvx221xy解：68LLudxvdyydxxdy积分路径在圆上，有cos,sinxy220022220022006sincos8cossin6sin8cos116(sin2)8(sin2)242414dddd四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度，等于该面积的边界L上的速度环量Γ。2nLIdAudxvdywdzIStokeslaw将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。1.微元面积的stokeslaw证明：BCDdxdyAAuAvABuudxuxAABvvdxvxAcuuudxdyuxyAAAcvvvdxdyvxyADuudyuyAADvvdyvyxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：沿A、B、C、D的速度环量为ABCDABBCCDDAddddd由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：11()()2211()()22ABCDABBccDDAduudxvvdyuudxvvdy将各点速度代入整理，有：∴stokes定理得证。()AAABCDvuddxdyxy（水平面）2zdA2zddAdI2.有限单连域的stokeslaw:将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积，1()2zvuxy求出每条边，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线L的环量。dL此式即为有限大单连域stokes定理。2LinAddA2LnALdAIudxvdywdz即：此定理也可用于复连域：122LLnAdAL1L2AStokeslaw说明，速度环量Γ不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。问题：沿封闭周线L的环量Γ为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求0u0u0u1234?若封闭周线取为圆Γ＝？1234例2：求有间断面的平行流的速度环量Γ＝？1234Lbu1u2例3：龙卷风的速度分布为,0rVrV20,0rrVvr试根据stokeslaw来判断是否为有旋流动。0rr0rr时时如图，当，流体以ω象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。0rr在区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。0rr自由涡rr0ω强制涡复合涡分别讨论自由涡和强制涡。0rr在区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量:ABCDr1r2r0θp2211222100()2ABCDAABBCCDDAABVrCDVrrrAω1V2V强制涡：式中为扇形ABCD的面积2221()2Arr20ABCDAA即有旋由于p是任取的，故这一结果可推广到强制涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流。讨论自由涡：0rr在区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量ABCDr1r2r0θpω221122002121000ABCDAABBCCDDAABVrCDVrrrrrrr由于ABCD是任取的，故此结论可推广到自由涡中任一区域。结论：龙卷风的风眼是有旋的，风眼外是无旋的。2V1V例：设二元流的速度为：22222323uxyxyxvyxxyy问：1）流动是否存在？2）流动是否有旋？3）求沿的Γ和该周线所围面积内的漩涡强度。222xyaI例：已知速度场求以236uxyvxyx11xy所围正方形的Γ。1－1－11例：设在（1，0）点置有Γ＝Γ0的涡，在（－1，0）点置有Γ＝－Γ0的旋涡，求沿下例路线的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）224xy22(1)1xy22xy0.50.5xy§3速度势和流函数一、平面流动二、速度势函数1.势函数φ存在的条件：垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动。对无旋流0此条件可写成：0wvyz0uwzx0vuxy此条件称柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udxvdywdz成为某一个函数(,,,)xyzt全微分的充要条件，即而当t为参变量，uxvywz(,,)xyz的全微分为ddxdydzxyz比较两式有：柱坐标1rzVrVrVzdudxvdywdz无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。把称为速度势函数简称势函数(,,)xyz用势函数表示速度矢量：Vuivjwkijkxyz2、势函数的性质1）流线与等势面垂直证：令为等势面，在其上任取一微元线段，上的速度为,求两者点积(,,)xyzconstdsdsVVdsc()()Vdsuivjwkdxidyjdzkudxvdywdzdxdydzxyzd在等势面上，故即速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。c0d0Vds2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量。lVl3）φ与Γ之间的关系由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关。BABABABBAAudxvdywdzdxdydzxyzd若φ函数是单值的，则沿任一封闭周线k的速度环量等于零。0kkkudxvdywdzd4）在不可压流体中，势函数是调和函数0uvwxyz由连续性方程：有：2222220xxyyzzxyz满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。三、流函数ψ1、流函数的定义：在不可压流体的平面流中，应满足0uvuvxyxy即由高数知识可知，此式是使成为某一个函数全微分的充要条件，即vdxudy(,)xydvdxudyddxdyxy而的全微分又可表示为：(,)xy比较两式有uyvx1rVrVr极坐标称为流函数。只要流动存在，无论而dvdxudy是否有旋，是否为理想流体，都必定存