高考数学限时规范检测：第十章-第七节-离散型随机变量的分布列、均值与方差

高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为X01234P1212011032015E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.2．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中将均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)X的可能取值为0,500,1000.P(X＝0)＝15＋45×12×15＝725，P(X＝500)＝45×12＝25，P(X＝1000)＝45×12×45＝825，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000P72525825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×25＋1000×825＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B3，25，则E(ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。案甲较划算．3．(2018·天津实验中学期中)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A，则P(A)＝C12C16C28＝37.(2)X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C28×C14C12＋C22C26＝928；P(X＝3)＝C26C28×C24C26×C12C12＋C22C24＝528；P(X＝4)＝C26C28×C24C26×C22C24×C22C22＝128.∴X的分布列为X1234P1328928528128E(X)＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514.4．(2018·湖南湘中联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得A表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．又P(A)＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P(A)＝1－0.216＝0.784.(2)η的所有可能取值为200,250,300.P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.所以η的分布列为η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.B组能力提升练5．(2018·湖南邵阳月考)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛．已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为34，23，14，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)记“函数f(x)＝3sinx＋ξ2π(x∈R)是偶函数”为事件A，求A高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。发生的概率．解：(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝14，P(ξ＝2)＝34×13＝14，P(ξ＝3)＝34×23＝12.所以ξ的分布列为ξ123P141412E(ξ)＝1×14＋2×14＋3×12＝94.(2)若f(x)＝3sinx＋ξ2π(x∈R)是偶函数，则ξ＝1或ξ＝3.故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝14＋12＝34.6．(2018·辽宁大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单位进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示.试销单价x/元4567a9产品销量y/件b8483807568已知变量x，y具有线性负相关关系，且i＝16xi＝39，i＝16yi＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y＝4x高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a，b的值；(2)若由线性回归方程得到的估计数据(xi，y^i)中的y^i与检测数据(xi，yi)中的yi差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．解：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得，x＝396＝6.5，y＝4806＝80，将x＝6.5，y＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确，故回归方程为y＝－4x＋106.由i＝16xi＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，由i＝16yi＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.(2)列出估计数据(xi，yi)与检测数据(xi，yi)如表.x456789y908483807568y^908682787470易知有3个“理想数据”，故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C33C36＝120，P(ξ＝1)＝C13C23C36＝920，P(ξ＝2)＝C13C23C36＝920，P(ξ高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。＝3)＝C33C36＝120.故ξ的分布列为ξ0123P120920920120E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.