高考数学限时规范检测：第三章-第三节-三角函数的图象与性质

高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2，π上为减函数的是()A．y＝sin2xB．y＝2|cosx|C．y＝cosx2D．y＝tan(－x)解析：选D.A选项，函数在π2，3π4上单调递减，在3π4，π上单调递增，故排除A；B选项，函数在π2，π上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．(2018·银川二模)函数y＝－2cos2π4＋x＋1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：选A.因为y＝－2cos2π4＋x＋1＝－1＋cosπ2＋2x＋1＝sin2x.y＝sin2x是最小正周期为π的奇函数．故选A.3．(2018·北京东城质检)若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。4π3，0对称，则|φ|的最小值为()A.π6B．π4C.π3D．π2解析：选A.由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为π6.4．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝sinx＋3cosx，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bacD．bca解析：选B.f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因为函数f(x)在0，π6上单调递增，所以fπ7fπ6，而c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3＝f(0)fπ7，所以c＜a＜b.5．函数y＝sinx2的图象是()高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。解析：选D.因为y＝sinx2为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x2＝π2，即x＝±π2时，ymax＝1，排除B选项．6．(2018·安徽师大附中月考)设ω0，m0，若函数f(x)＝msinωx2cosωx2在区间－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是()A.0，23B．0，32C.32，＋∞D．[1，＋∞)解析：选B.f(x)＝msinωx2cosωx2＝12msinωx，若函数在区间－π3，π3上单调递增，则T2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈0，32.7．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋π3－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为5π12，0；④函数f(x)的递增区间为kx＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.则正确结论的个数是()高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。A．1B．2C．3D．4解析：选C.由已知得，f(x)＝cos2x＋π3－cos2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3－cos2x＝－sin2x＋π6，不是奇函数，故①错误；当x＝2π3时f2π3＝－sin4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时f5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.8．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)．若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f(x)≤fπ4对任意x∈R恒成立，∴fπ4为f(x)的最大值，∴fπ4＝cosπ4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2kπ，解得ω＝8k＋23，k∈Z，又∵ω0，∴当k＝0时，ω的最小值为23.答案：239．(2018·广东茂名二模)已知ω＞0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝2－(－2)＝22，|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝22sinωx－π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝2π2ω2＋(22)2，ω＝π2.答案：π210．(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．B级能力提升练11．(2018·厦门质检)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为()A.12B．2C.π2D．π2解析：选D.因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，所以ω2＝π4＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.12．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1ω0，|φ|π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f(x)的图象关于点π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间是()A.－π2＋2kπ，π＋2kπ，k∈ZB.－π2＋3kπ，π＋3kπ，k∈Z高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。C.π＋2kπ，5π2＋2kπ，k∈ZD.π＋3kπ，5π2＋3kπ，k∈Z解析：选B.由题意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×3π4＝3π，则2πω＝3π，ω＝23，因为f(x)的图象关于点π4，1对称，所以2sin23×π4＋φ＋1＝1，即sinπ6＋φ＝0.因为|φ|π2，所以φ＝－π6，则f(x)＝2sin23x－π6＋1.令2kπ－π2≤23x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得3kπ－π2≤x≤3kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[－π2＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z，选B.13．(2018·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．解析：由f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝－fπ6知高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。f(x)有对称中心π3，0，由fπ2＝f23π知，f(x)有对称轴x＝12π2＋23π＝712π.记f(x)的最小正周期为T，则12T≥π2－π6，即T≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T＝π.答案：π14．已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2－x·cos(x－π3)－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解：(1)f(x)的定义域为x|x≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令z＝2x－π3，函数y＝2sinz的单调递增区间是高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝x|－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以，当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．15．(2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sin(ωx－π2)，其中0ω3，已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.由题设知fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z，又0ω3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sin