常用积分公式

第3章牛顿-莱布尼茨积分和积分法130130常用积分公式表·例题和点评⑴dkxkxc(k为常数)⑵11d(1)1xxxc特别，211dxcxx,322d3xxxc,1d2xxcx⑶1dln||xxcx⑷dlnxxaaxca,特别，edexxxc⑸sindcosxxxc⑹cosdsinxxxc⑺221dcscdcotsinxxxxcx⑻221dsecdtancosxxxxcx⑼221darcsin(0)xxcaaax,特别，21darcsin1xxcx⑽2211darctan(0)xxcaaxaa,特别，21darctan1xxcx⑾2211dln(0)2axxcaaxaax或2211dln(0)2xaxcaxaaxa⑿tandlncosxxxc⒀cotdlnsinxxxc⒁lncsccot1cscddlntansin2xxcxxxxcx⒂lnsectan1secddπlntancos24xxcxxxxcx⒃(0)22221d===lnaxxxacxa§3-6常用积分公式·例题和点评131131⒄2(0)2222d===arcsin22aaxxaxxaxca⒅2(0)222222d===ln22axaxaxxaxxac⒆2222sincosesindesincosecosdeaxaxaxaxabxbbxbxxcabbbxabxbxxcab⒇12222212123d()2(1)()2(1)nnnnxnxcaxnaaxna（递推公式）跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例24含根式2axbxc的积分⑴2245d(2)1d(2)xxxxx[套用公式⒅]2221(2)1ln(2)(2)122xxxx⑵22145d(24)445d2xxxxxxxx222145d(45)245d2xxxxxxx(请你写出答案)⑶2211dd(2)45(2)1xxxxx2ln2(2)1xx[套用公式⒃]⑷221(24)4dd24545xxxxxxxx2221d(45)12d24545xxxxxxx(请你写出答案)⑸22254d3(2)d(2)xxxxx222322arcsin3(2)232xxx[套用公式⒄]⑹22154d(42)454d2xxxxxxxx第3章牛顿-莱布尼茨积分和积分法132132222154d(54)254d2xxxxxxx(请你写出答案)⑺222dd(2)543(2)xxxxx2arcsin3x[套用公式⑼]⑻22(42)4dd125454xxxxxxxx2221d(54)d225454xxxxxxx(请你写出答案)例25求原函数41d1xx.解因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424xxxxxxxxxx所以令422112121AxBCxDxxxxx为待定常数）DCBA,,,(2222()(21)()(21)2121AxBxxCxDxxxxxx从恒等式1)12)(()12)((22xxDxCxxBAx(两端分子相等)，可得方程组（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1CADCBADCBADB解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221DCBA.因此，41d1xx221111222222dd2121xxxxxxxx右端的第一个积分为2222111(22)21(22)d11222ddd4214221422121xxxxxxxxxxxxxxx§3-6常用积分公式·例题和点评13313322221d(21)11d442212122xxxxxx(套用积分公式)211ln(21)arctan(21)4222xxx类似地，右端的第二个积分为221111222dln(21)arctan(21)214222xxxxxxx所以41d1xx2212111lnarctan(21)arctan(21)42212222xxxxxx22212112lnarctan1422122xxxxxx（见下注）【注】根据tantantan()1tantan,则22(21)(21)222tanarctan(21)arctan(21)2(1)11(21)(21)xxxxxxxxxx因此,22arctan(21)arctan(21)arctan1xxxx例26求d(01)1cosxx.【关于d(01)1cosxx，见例17】解令tan2xt(半角替换)，则2222222coscossin2cos111222sec1tan22xxxxxx2211tt22dd(2arctan)d1xttt于是，2222d12dd211cos1(1)(1)11xtttxttt22d111tt221arctan11tc2221arctantan211xc【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()yyx的导数或微分可以用一个“构造性”的公式第3章牛顿-莱布尼茨积分和积分法1341340()()()limhyxhyxyxh或d()dyyxx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如21esined,d,d,dlnxxxxxxxxxx等都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.