5.2样本函数与统计量

第五章数理统计的基本知识§5.2样本函数与统计量统计量：不依赖任何未知参数的样本函数.样本函数：以样本为自变量的函数.).,,,(21nXXXg记样本函数也是随机变量.设是取自总体X的一组样本,nXXX,,,21,,,21xx称),,,(21nxxxg为样本函的观测值.),,,(21nXXXg数1.样本函数与统计量是观测值.nx?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是例11.样本均值,11niiXnX.11niixnx其观测值记作设是取自总体X的一组样本,nXXX,,,21常用统计量有：2.常用统计量2.样本方差,)(11122niiXXnS其观测值记作.)(11122niixxnsniiiXXXXnS1222)2(11)2(112112XnXXXnniinii)(1121XnXnnii样本方差可化简为：,)(112122XnXnSnii.)(112122xnxnsnii3.样本标准差.)(1112niiXXnS其观测值记作.)(1112niixxnsnikikXnV114.样本k阶原点矩其观测值记作.kv5.样本k阶中心矩nikikXXnU1)(1特别地，.1XV其观测值记作.ku特别地，,01U2U,12Snn记样本二阶中心矩的观测值为22~u.12snn若充分大，n.~22s,)(存在记成阶矩的若总体kkXEkX证明,,,,21同分布独立且与因为XXXXn,,,,21同分布独立且与所以kknkkXXXX)(1kXE故有再根据第三章大数定律知由以上定义得下述结论:,时则当n,kPkV.,2,1k)(2kXE)(knXE.k;,2,1,11kXnkPniki从而有),,,,(),,,(2121kPkgVVVg.是连续函数其中g以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.设抽样得到样本观测值如下：38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.6计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.解：把上述10个数据逐个输入电子计算器或计算机中，不难求得：.5.40101101iixx10122)(91iixxs.66.4.194.4)(101~10122iixx[例1]注：当样本容量很大时，可使用统计计算软件在计算机上进行计算.而相同的数据往往可能重复出现，使计算简化，应先把所得的数据整理，设得到下表：为了观测值总计频数)1(x)2(x)(lx1m2mlmn则,11)(liiixmnx,)(1112)(2liiixxmns.)(1~12)(2liiixxmn对于连续随机变量或者某些离散随机变量抽样得到的样本观测值，分成若干个子区间整理后，通常把各个子区间的中点值取作,)(ix样本观测值落在对应区间的频数取作im进行计算.观测某交通路口每天上午8:00~8:30这段时间内234260241259256241261257277255通过的汽车车辆数，共观测30天，得到如下观测值：244249238269250268256253226256235256251258246255257282251261计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.注：[例2]（220，230]（230，240]（240，250]（250，260]（260，270]（270，280]（280，290]解：30总计13614411225235245255265275285该段时间内通过的汽车数所在区间区间中点值)(ix频数im数据进行如下分组，,59.147)(291712)(2iiixxms.67.142)(301~712)(2iiixxm数据只需分7次输入计算器即可算得，,25330171ix)(iixm小结1.有关概念：样本函数与统计量（注意两者的区别）2.学会用计算器算出常用统计量的样本观测值.思考题样本,则下列随机变量中为统计量的是:nXXX,,,21设总体,其中和都未知,2,~NX从中抽取X(A)niiX12)((B)niiXX12)((C)22)1(Sn(D)SXn)(答案:(B)统计量中不含任何未知参数.