工程硕士数学

1教材：关治，陆金甫数值方法清华大学出版社2006参考书：RichardL.Burden&J.DouglasFairesNumericalAnalysis(7ed)2第1章引论§1数值分析研究对象与特点（I）数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。对数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。例如，设有一个质量为m的质点作直线运动（设其在x轴上运动），其坐标用x表示。在质点运动过程中，其坐标x随时间t而变动，要知道质点如何运动，就要知道x对时间t的依赖关系。假定运动是在力F的作用下进行的，而力F又与时间t，质量的位置x，速度vdxdt有关，即(,,)dxFftxdt。由Newton第二定律，22v,ddxFmaadtdt，即在时刻t有22(,,)dxdxmFtxdtdt为使问题定解，还需加上初始条件00()xtx00vttdxdt这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…3是数学工作者要研究和解决的问题。作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，如21sinxdxx不能用解析方法求得。很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。数值分析具有两个显明特点：1.实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现，但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。计算机为用数值方法进行科学与工程计算提供了条件，而数值方法的发展又推动了计算机的发展。现在大量的科学与工程问题可用计算机进行求解。过去完全靠实验的学科，如气体动力学，目前大量以数值方法用计算机来完成。科学计算已与理论研究，科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。（II）数值分析基本内容41.数值逼近函数插值，逼近，数值积分；2.数值代数数值线性代数：线性方程组求解，特征值问题数值解，线性最小二乘问题，非线性方程及方程组数值解法。3.微分方程数值解法常微分方程初值问题，边值问题，偏微分方程（有限差分，有限元）。§2误差与有效数字（I）误差来源数值分析是研究求解数学问题的数值方法，在计算过程中，误差是不可避免的，引起误差的因素很多，主要有1.数学模型误差2.观测误差（测量误差）3.截断误差，例211!2!!nxxxxen当x很小时，1xex，由此看出21,012!xxxexe，用1x来近似xe的误差5为22!xxe4.舍入误差在计算过程中，往往对数字“4舍5入”。受计算机字长限制，无法对无穷小数进行运算，必须化为具有一定位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。（II）绝对误差，相对误差设x为准确值，x为其近似值，令xx，称其为近似值x的绝对误差，或称误差。由于x往往未知，故一般不能求出。*rxxx称为*x的相对误差。由于x往往未知，因此**xxx也称其为相对误差。假定x为某一实数的准确值，*x为其近似值，可对*x的绝对误差作估计**()xxx*()x称为*x的绝对误差界，或称误差界。相应于*()x***()()rxxx称为*x的相对误差界。6例3.1415926取*3.14*0.0015926可令其绝对误差界*()0.002x；相对误差界*()0.0007rx（III）有效数字有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，也能表示其精确程度。在数值计算过程中，用四舍五入原则取x的前n位数*x为其近似值，例如21.4142135x取前4位，*1.414x可以看出，*312102x，四舍五入得到的数，其绝对误差不超过未位数的半个单位。例53.1415926取前面5位*3.1416*41102定义如果近似值*x的绝对误差界为1102n，那么称*x准确7到小数点后第n位，并从第1个非零数字到这一位所有数字称为有效数字。例21.414准确到小数点后第3位，有4位有效数字。3.1416准确到小数点后第4位，有5位有效数字。（IV）数值计算中注意的问题1.避免两个相近的数相减。2.避免大数“吃”小数。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4.简化运算次数。§3数值稳定性计算积分10,0,1,,145nnxIdxnx要计算15个积分。方便起见，建立递推公式。注意到1111005555nnnnxxIIdxdxxx111100(5)15nnxxdxxdxxn由此得115nnIIn8取110001ln(5)ln6ln5ln1.25Idxxx0.182321568001102II0191013140.182321560.182321560.088392250.88392220.030195880.016926120.050979410.015369148.305409380.0118412741.455618310.01222222IIIIII下面来分析递推公式计算结果是否正确？1100116(1)655(1)nnnxxdxIdxnn116(1)5(1)nInn可以看出，0nI，由此推断，用递推公式计算不对。计算0I时，由于4舍5入，存在误差000eII。再考虑nnneII计算nI时，事实上采用公式115nnIIn，即115nnIIn准确公式为115nnIIn9两者相减有105(5)nnneee由0I的误差0e，通过递推公式nI的误差为0e的(5)n倍。定义，对于一个算法，如果初始有误差(舍入误差，截断误差)，在运算过程中误差无限增加，不能控制，那么称该算法是数值不稳定的，反之为数值稳定的。可以看出，上述递推算法是数值不稳定的。算法2.116(1)5(1)nInn取14n140.0111111110.01333333I14111[]0.012222222615515I14141414,0.002eIIe由115nnIIn得111()5nnIIn111(),14,13,,05nnIInn用此递推公式结果可以看出，0I很准确。仍考虑nnneII110115,(1)55nnnnnnneeeeee从14I出发，计算0I时，0141415ee初始误差经运算，误差被控制,上述算法是数值稳定的。10