2018年高考全国3卷理科数学试题及答案解析

..2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合22(,)1Axyxy，(,)Bxyyx，则AB中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】A表示圆221xy上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，故选B.x2．设复数z满足(1i)2iz，则z（）A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】由题，2i1i2i2i2i11i1i1i2z，则22112z，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份..D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4．5()(2)xyxy的展开式中33xy的系数为（）A．B．C．40D．80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33xy的项为2332233355C2C240xxyyxyxy，则33xy的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点．则C的方程为（）A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba①又∵椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc②由①②解得2,5ab，则双曲线C的方程为22145xy，故选B.6．设函数π()cos()3fxx，则下列结论错误的是（）A．()fx的一个周期为2πB．()yfx的图像关于直线8π3x对称C．()fx的一个零点为π6xD．()fx在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数πcos3fxx的图象可由cosyx向左平移π3个单位得到，如图可知，fx在π,π2上先递减后递增，D选项错误，故选D.-6xyO7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3..D．2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SMt初始状态01001第1次循环结束100102第2次循环结束9013此时9091S首次满足条件，程序需在3t时跳出循环，即2N为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π２D．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积23ππ4Vrh，故选B.9．等差数列na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为d.则2326aaa，即211125adadad又∵11a，代入上式可得220dd又∵0d，则2d∴61656561622422Sad，故选A.10．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段1A2A为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．2３D．13【答案】A【解析】∵以12AA为直径为圆与直线20bxayab相切，∴圆心到直线距离d等于半径，..∴222abdaab又∵0,0ab，则上式可化简为223ab∵222bac，可得2223aac，即2223ca∴63cea，故选A11．已知函数211()2(ee)xxfxxxa有唯一零点，则a（）A．1２B．13C．12D．1【答案】C【解析】由条件，211()2(ee)xxfxxxa，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)xxxxxxfxxxaxxxaxxa∴(2)()fxfx，即1x为()fx的对称轴，由题意，()fx有唯一零点，∴()fx的零点只能为1x，即21111(1)121(ee)0fa，解得12a．12．在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为（）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD与C切于点E，连接CE．以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．∵||1CD，||2BC．∴22125BD．∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是RtBCD△中斜边BD上的高．12||||2222||5||||55BCDBCCDSECBDBD△即C的半径为255．∵P在C上．()AODxyBPgCE..∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5xy．设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：00225cos5215sin5xy而00(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD．∵(0,1)(2,0)(2,)APABAD∴0151cos25x，0215sin5y．两式相加得：222515sin1cos552552()()sin()552sin()3≤(其中5sin5，25cos5)当且仅当π2π2k，kZ时，取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足约束条件0,20,0,xyxyy≥≤≥则34zxy的最小值为________．【答案】1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34zxy，则直线344zyx纵截距越大，z值越小．由图可知：z在1,1A处取最小值，故min31411z．AB(1,1)(2,0)0xy20xyyx14．设等比数列na满足121aa，133aa，则4a________．【答案】8【解析】na为等比数列，设公比为q．..121313aaaa，即1121113aaqaaq①②，显然1q，10a，②①得13q，即2q，代入①式可得11a，3341128aaq．15．设函数1,0,()2,0,xxxfxx≤则满足1()()12fxfx的x的取值范围是________．【答案】1,4【解析】1,02,0xxxfxx≤，112fxfx，即112fxfx由图象变换可画出12yfx与1yfx的图象如下：121211(,)441()2yfx1()yfxyx由图可知，满足112fxfx的解为1,4.16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；③直线AB与a所成角的最小值为45；④直线AB与a所成角的最大值为60．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，abAC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC，2AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量(0,1,0)a，||1a．..B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b，||1b．设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，||2AB．设AB与a所成夹角为π[0,]2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|[0,]22aAB．故ππ[,]42，所以③正确，④错误．设AB与b所成夹角为π[0,]2，cos(cos,sin,1)(1,0,0)2|cos|2ABbbABbAB.当AB与a夹角为60时，即π3，12sin2cos2cos2322．∵22cossin1，∴2|cos|2．∴21cos|cos|22．∵π[0,]2．∴π=3，此时AB与b夹角为60．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0AA，27a，2b．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD△的面积．【解析】（1）由sin3cos0AA得π2sin03A，..即ππ3AkkZ，又0,πA，∴ππ3A，得2π3A.由余弦定理2222cosabcbcA.又∵127,2,cos2abA代入并整理得2125c，故4c.（2）∵2,27,4ACBCAB，由余弦定理22227cos27abcCab.∵ACAD，即ACD△为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又2π3A，则2πππ326DAB，1πsin326ABDSADAB△.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温1015，1520，2025，2530，3035，3540，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500