2007年江苏高考数学试卷及答案

第1页共7页2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)kknknnPkCpp一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。1．下列函数中，周期为2的是（D）A．sin2xyB．sin2yxC．cos4xyD．cos4yx2．已知全集UZ，2{1,0,1,2},{|}ABxxx，则UACB为（A）A．{1,2}B．{1,0}C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为（A）A．5B．52C．3D．24．已知两条直线,mn，两个平面,，给出下面四个命题：（C）①//,mnmn②//,,//mnmn③//,////mnmn④//,//,mnmn其中正确命题的序号是A．①③B．②④C．①④D．②③5．函数()sin3cos([,0])fxxxx的单调递增区间是（D）A．5[,]6B．5[,]66C．[,0]3D．[,0]66．设函数()fx定义在实数集上，它的图像关于直线1x对称，且当1x时，()31xfx，则有（B）A．132()()()323fffB．231()()()323fff第2页共7页C．213()()()332fffD．321()()()233fff7．若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaaxaxax，则2a的值为（B）A．3B．6C．9D．128．设2()lg()1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是（A）A．(1,0)B．(0,1)C．(,0)D．(,0)(1,)9．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（C）A．3B．52C．2D．3210．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{(,)|1,Axyxy且0,0}xy，则平面区域{(,)|(,)}BxyxyxyA的面积为（B）A．2B．1C．12D．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡．．．相应位置上．．．．．。11．若13cos(),cos()55，.则tantan1/2.12．某校开设9门课程供学生选修，其中,,ABC三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75种不同选修方案。（用数值作答）13．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则Mm32.14．正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是655.15．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点(4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆2212516xy上，则sinsinsinACB5/4.第3页共7页16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t时，点A与钟面上标12的点B重合，将,AB两点的距离()dcm表示成()ts的函数，则d10sin60t，其中[0,60]t。三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）解：（1）2325441611100.055525125pC（2）415441110.00640.9955PC（3）31444410.02555PC18．（本小题满分12分）如图，已知1111ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC，（1）求证：1,,,EBFD四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM面11BCCB；（4分）（3）用表示截面1EBFD和面11BCCB所成锐二面角大小，求tan。（4分）解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN//BE，所以D1F//BE，所以1,,,EBFD四点共面。1D1AABCD1C1BMEFHG第4页共7页（2）因为GMBF所以BCF∽MBG，所以MBBGBCCF，即2332MB，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM面11BCCB（3）EM面11BCCB，所以EMBF，EMMH，GMBF，所以∠MHE就是截面1EBFD和面11BCCB所成锐二面角的平面角，∠EMH=90，所以tanMEMH，ME=AB=3，BCF∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=222313，所以MH=313，所以tanMEMH=1319、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,PQ，（1）若2OAOB，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为ykxc，所以20xkxcc，即20xkxc，设A1122,,,xyBxy，OA=11,xy，22,OBxy，因为2OAOB，所以12122xxyy，即12122xxkxckxc，221212122xxkxxkcxxc所以222ckckckc，即220,cc所以21cc舍去（2）设过Q的切线为111yykxx，/2yx，所以112kx，即2211111222yxxxyxxx，它与yc的交点为M11,22xccx，又21212,,2222xxyykkPc，所以Q,2kc，因为12xxc,所以21cxx，所以M12,,222xxkcc,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。BAxyOCQlP第5页共7页（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,2kc，因为PQx轴，所以,2PkPy因为1222xxk，所以P为AB的中点。20．（本小题满分16分）已知{}na是等差数列，{}nb是公比为q的等比数列，11221,ababa，记nS为数列{}nb的前n项和，（1）若(,kmbamk是大于2的正整数)，求证：11(1)kSma；（4分）（2）若3(ibai是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{}nb中每一项都是数列{}na中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{}nb中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设{}na的公差为d，由11221,ababa，知0,1dq，11daq（10a）（1）因为kmba，所以111111kaqamaq，111121kqmqmmq，所以1111111111kkaqammqSmaqq（2）23111,11ibaqaaiaq，由3iba，所以22111,120,qiqqiqi解得，1q或2qi，但1q，所以2qi，因为i是正整数，所以2i是整数，即q是整数，设数列{}nb中任意一项为11nnbaqnN，设数列{}na中的某一项mamN=1111amaq现在只要证明存在正整数m，使得nmba，即在方程111111naqamaq中m有正整数解即可，11221111,111nnnqqmqmqqqq，所以222nmqqq，若1i，则1q，那么2111,222nnbbabba，当3i时，因为1122,abab，只要考虑3n的情况，因为3iba，所以3i，因此q是正整数，所以m是正整数，第6页共7页因此数列{}nb中任意一项为11nnbaqnN与数列{}na的第222nqqq项相等，从而结论成立。（3）设数列{}nb中有三项,,,,,mnpbbbmnpmnpN成等差数列，则有2111111,nmpaqaqaq设,,,nmxpnyxyN，所以21yxqq，令1,2xy，则3210,qq2110qqq，因为1q，所以210qq，所以512q舍去负值，即存在512q使得{}nb中有三项13,,mmmbbbmN成等差数列。21．（本小题满分16分）已知,,,abcd是不全为0的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，方程()0fx有实根，且()0fx的实数根都是(())0gfx的根，反之，(())0gfx的实数根都是()0fx的根，（1）求d的值；（3分）（2）若0a，求c的取值范围；（6分）（3）若1,(1)0af，求c的取值范围。（7分）解（1）设0x是0fx的根，那么00fx，则0x是(())0gfx的根，则00,gfx即00g，所以0d。（2）因为0a，所以22,fxbxcxgxbxcx，则(())gfxfxbfxc=222bxcxbxbcxc=0的根也是0fxxbxc的根。（a）若0b，则0c，此时0fx的根为0，而(())0gfx的根也是0，所以0c，（b）若0b，当0c时，0fx的根为0，而(())0gfx的根也是0，当0c时，0fx的根为0和cb，而0bfxc的根不可能为0和cb，所以0bfxc必无实数根，所以2240,bcbc所以240,04ccc，从而04c所以当0b时，0c；当0b时，04c。（3）1,(1)0af，所以0bc，即0fx的根为0和1，第7页共7页所以222cxcxccxcxc=0必无实数根，（a）当0c时，t=2cxcx=21244cccx，即函数2httctc在4ct，0ht恒成立，又22224cchttctctc，所以min04chth，即220,164ccc所以1603c；（b）当0c时，t=2cxcx=2124