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第4讲分式考点一分式1.形如AB(A,B是整式,且B中含有字母)的式子叫做分式.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.2.分式AB有、无意义:当B=0时,分式无意义;当B≠0时,分式有意义.3.分式AB的值为0:当A=0且B≠0时,分式的值为0.温馨提示:分母中含有字母是分式与分数概念的根本区别;判断一个式子是不是分式,若分子和分母含有公因式,不要约去公因式,直接根据概念判断即可.考点二分式的基本性质1.AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷C(C≠0),其中A,B,C是整式.2.约分:关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式.确定最大公因式的一般步骤是:当分子、分母是多项式时,先因式分解,再取系数的最大公约数与相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式.3.通分:关键是确定几个分式的最简公分母.确定最简公分母的一般步骤是:当分母是多项式时,先因式分解,再取系数的最小公倍数与所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母.温馨提示:1.若原分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子或分母用括号括起来,再乘或除以整式.2.应用分式的基本性质时,要深刻理解“都”与“同”这两个字的含义,避免犯只乘分子或只乘分母的某一项的错误.考点三分式的运算1.分式的加减同分母分式相加减:ac±bc=a±bc;异分母分式相加减:ab±cd=ad±bcbd.2.分式的乘除ab·cd=acbd,ab÷cd=ab·dc=adbc.3.分式的乘方abn=anbn(b≠0,n是正整数).4.分式的混合运算在分式的混合运算中,应先算乘方、开方,再算乘除,最后进行加减运算,如遇到有括号的,先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.注意:在分式的运算中,分式只能通分,不能去分母.考点四分式求值分式的求值方法很多,主要有三种:(1)先化简,再求值;(2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值;(3)式中字母表示的数未明确告知,而是隐含在方程等题设条件中.解这类题,一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值;另一方面把所求代数式适当地化简变形.有时两种方法同时用能获得简易的解法.考点一确定分式有意义的条件例1(2014·广州)代数式1|x|-1有意义时,x应满足的条件为________.【点拨】由分式有意义的条件,可得|x|-1≠0,∴x≠±1.【答案】x≠±1考点二确定分式的值为0的条件例2(2014·毕节)若分式x2-1x-1的值为0,则x的值为()A.0B.1C.-1D.±1【点拨】由分式为0的条件,可得x2-1=0,x-1≠0.解得x=±1,x≠1,所以x=-1.故选C.【答案】C方法总结:分式的值为0受到分母不等于0的限制.“分式的值为0”包含两层含义:一是分式有意义,二是分子的值为0,不要误解为“只要分子的值为0,分式的值就是0”.考点三分式的加减例3(2014·白银)化简:x2x-2+42-x=________.【点拨】x2x-2+42-x=x2x-2-4x-2=x2-4x-2=x+2x-2x-2=x+2.【答案】x+2方法总结:1.同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,各分子都应加括号,特别是相减时,要避免出现符号错误.2.异分母分式相加减应先通分再加减.考点四分式的乘除例4(2014·襄阳)计算:a2-1a2+2a÷a-1a=________.【点拨】a2-1a2+2a÷a-1a=a+1a-1aa+2·aa-1=a+1a+2.【答案】a+1a+2方法总结:分式的乘除运算归根到底是乘法运算,其实质是分式的约分.考点五分式的混合运算及求值例5(2014·娄底)先化简x-4x2-9÷1-1x-3,再从不等式2x-37的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.【点拨】本题考查分式的化简求值,先按照分式混合运算的顺序将分式化简,然后求出不等式的解集,再选取合适的正整数解代入求值.解:原式=x-4x+3x-3÷x-3-1x-3=x-4x+3x-3·x-3x-4=1x+3.解不等式2x-37,得x5.取x=0时,原式=13.(本题答案不唯一,只要x≠±3,x≠4即可)方法总结:1.有理数的运算律、整式的化简求值对分式同样适用,要灵活运用乘法交换律、结合律、分配律,增加运算的技巧性,使运算简捷.2.注意选取字母的值时要使整个过程中的每一个分式都有意义.1.要使分式|a|-32a-6的值为0,a的值可以是(B)A.3B.-3C.±3D.6解析:由题意,可得|a|-3=0,2a-6≠0,解得a=±3,a≠3,所以a=-3.故选B.2.下列分式运算正确的是()A.1a+1b=2a+bB.a23a3=a2C.a2+b2a+b=a+bD.a-3a2-6a+9=1a-3解析:A中,1a+1b=a+bab,故A错误;B中,a23a3=a6a3=a3,故B错误;C中,分子和分母没有公因式,不能约分,故C错误;D中,a-3a2-6a+9=a-3a-32=1a-3,故D正确.故选D.答案:D3.如果把分式2xyx+y中的x和y都扩大3倍,那么分式的值(A)A.扩大3倍B.缩小3倍C.扩大9倍D.不变4.化简2x-6x-2÷5x-2-x-2的结果是()A.-2x+3B.2x+3C.2x-115D.2x-65-x-22解析:原式=2x-3x-2÷5-x2+4x-22x-3x-2·x-23+x3-x=-2x+3.故选A.答案:A5.设m>n>0,m2+n2=4mn,则m2-n2mn的值等于()A.23B.3C.6D.3解析:∵m2+n2=4mn,∴m2+2mn+n2=6mn,m2-2mn+n2=2mn,即(m+n)2=6mn,(m-n)2=2mn.∵m>n>0,∴m2-n2mn=m+nm-nmn=m+n2·m-n2mn=6mn·2mnmn=12m2n2mn=23.故选A.答案:A6.化简m2-163m-12=m+43;当m=-1时,原式的值为1.解析:m2-163m-12=m+4m-43m-4=m+43.当m=-1时,m+43=-1+43=1.7.化简xx-12-1x-12的结果是1x-1.解析:xx-12-1x-12=x-1x-12=1x-1.8.化简:3x2x2-1+2x1-x÷xx-1.解:原式=3x2x-1x+1-2xx-1·x-1x=3xx+1-2=x-2x+1.9.先化简,再求值:1x+3-1÷x2-4x2+6x+9,选择自己喜欢的一个x求值.解:原式=-x+2x+3·x+32x+2x-2=-x+3x-2,∵要使原式有意义,x≠-3,-2,2,∴如取x=3时,原式=-3+33-2=-6.考点训练一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2014·温州)要使分式x+1x-2有意义,则x的取值应满足(A)A.x≠2B.x≠-1C.x=2D.x=-1解析:由分母不为0,可得x-2≠0,即x≠2.故选A.2.(2014·广州)计算x2-4x-2的结果是(B)A.x-2B.x+2C.x-42D.x+2x解析:x2-4x-2=x+2x-2x-2=x+2.故选B.3.(2014·百色)下列三个分式12x2,5x-14m-n,3x的最简公分母是(D)A.4(m-n)xB.2(m-n)x2C.14x2m-nD.4(m-n)x24.下列运算错误的是()A.a-b2b-a2=1B.-a-ba+b=-1C.0.5a+b0.2a-0.3b=5a+10b2a-3bD.a-ba+b=b-ab+a解析:A中,a-b2b-a2=a-b2a-b2=1,故A正确;B中,-a-ba+b=-a+ba+b=-1,故B正确;C中,0.5a+b0.2a-0.3b=5a+10b2a-3b,故C正确;D中,a-ba+b=-b-ab+a,故D错误.故选D.答案:D5.(2014·河北)化简:x2x-1-xx-1=(C)A.0B.1C.xD.xx-1解析:x2x-1-xx-1=x2-xx-1=xx-1x-1=x.故选C.6.(2014·凉山州)分式|x|-3x+3的值为零,则x的值为()A.3B.-3C.±3D.任意实数解析:由分式的值为0的条件,可得|x|-3=0,x+3≠0,解得x=±3,x≠-3,所以x=3.故选A.答案:A7.(2014·十堰)已知a2-3a+1=0,则a+1a-2的值为(B)A.5-1B.1C.-1D.-5解析:根据分式有意义的条件可得a≠0,∴a2-3a+1a=0,整理,得a+1a=3,∴a+1a-2=1.故选B.8.若x=-1,y=2,则2xx2-64y2-1x-8y的值等于()A.-117B.117C.116D.115解析:原式=2xx+8yx-8y-x+8yx+8yx-8y=x-8yx+8yx-8y=1x+8y.当x=-1,y=2时,原式=1-1+8×2=115.故选D.答案:D9.(2014·临沂)当a=2时,a2-2a+1a2÷1a-1的结果是(D)A.32B.-32C.12D.-12解析:a2-2a+1a2÷1a-1=a-12a2÷1-aa=1-a2a2·a1-a=1-aa,当a=2时,原式=1-22=-12.故选D.10.(2013·泰安)化简分式2x-1÷2x2-1+1x+1的结果是(A)A.2B.2x+1C.2x-1D.-2解析:原式=2x-1÷2x+1x-1+x-1x+1x-1=2x-1÷x+1x+1x-1=2x-1·(x-1)=2.故选A.11.化简a+1a2-2a+1÷1+2a-1的结果是(A)A.1a-1B.1a+1C.1a2-1D.1a2+1解析:原式=a+1a-12÷a+1a-1=a+1a-12·a-1a+1=1a-1.故选A.12.(2014·贺州)张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推导出“式子x+1x(x0)的最小值是2”,其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边的长为1x,矩形的周长为2x+1x;当矩形成为正方形时,就有x=1x(x0),解得x=1.这时矩形的周长2x+1x=4最小,因此x+1x(x0)的最小值是2.模仿张华的推导,你求得式子x2+9x(x0)的最小值是()A.2B.4C.6D.10解析:∵x0,∴在原式中分母分子同除以x,即x2+9x=x+9x,在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边长为9x,矩形的周长为2x+9x;当矩形成为正方形时,就有x=9x(x0),解得x=3.这时矩形的周长2x+9x=12最小,因此x+9x(x0)的最小值是6.故选C.答案:C点评:本题属于阅读型试题,弄清题意是解本题的关键.二、填空题(每小题4分,共20分)13.(2014·济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克,再称得剩余电线的质量为b克,那么原来这卷电线的总长度是ba+1或b+aa米.解析:剩余电线的长度为ba米,则总长度是ba+1米.14.化简:x+1-x2+2xx+1=1x+1.解析:原式=x+12x+1-x2+2xx+1=1x+1.15.(2014·遵义)计算1a-1+a1-a的结果是-1.解析:1a-1+a1-a=1a-1-aa-1=1-aa-1=-a-1a-1=-1.16.若x+y=1,且x≠0,则x+2xy+y2x÷x+yx的值为1.解析:原式=x2+2xy+y2x÷x+yx=x+y2x·xx+y=x+y=1.17.(2014·东营)如果实数x,y满足方程组x+3y=0,2x+3y=3,
本文标题:2015中考数学全景透视+九年级一轮复习课件+第04讲+分式(共74张ppt)(共74张PPT)
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