指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越快。xy2xy3指数函数2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。yxOyxOy=log2xy=log2xy=log3xy=log3xy=log5xy=log5x(1,0)对数函数3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数，并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的增长就越快。yx-3-2-1O123654321y=x2y=x4幂函数xy2xy3yxOyxOy=log2xy=log2xy=log3xy=log3xy=log5xy=log5x(1,0)yx-3-2-1O123654321y=x2y=x4yx-3-2-1O123654321y=x2yx-3-2-1O123654321yxyx-3-2-1O123654321y=x2y=x4对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?对函数y=2x,y=x100(x0),y=log2x的函数值(取近似值)比较自变量x函数值y=2xy=x100(x0)y=log2x············12101.00700442.00973382.00972580.0100710101024101003.32192811001.27×1030102006.64385623002.04×10905.15×102478.22881875003.27×101507.89×102698.96578437005.26×102103.23×102849.45121119008.45×102702.66×102959.81378129966.70×102996.70×102999.9610001.07×10301103009.965784311001.36×103311.38×1030410.103287812001.72×103618.28×1030710.2288187············借助计算器完成右表x的变化区间函数值的变化量y=2xy=x100(x0)y=log2x(1,10)102310100－13.3219281(10,100)1.27×1030102003.3219281(100,300)2.04×10905.15×102471.5849625(300,500)3.27×101507.89×102690.7369656(500,700)5.26×102103.23×102840.4854268(700,900)8.45×102702.66×102950.3625701(900,1000)1.07×10301103000.1520031(1000,1100)1.36×103311.38×103040.1375035(1100,1200)1.72×103618.28×103070.1255309利用上表完成右表xy24、谈函数y=2x，y=x2(x＞0)，y=log2x的函数值增长快慢的体会。随着x的值越大y=log2x的函数值增长的越来越慢，y=2x和y=x2的函数值增长的越来越快，y=log2x增长比y=2x和y=x2要慢的多。对函数y=2x和y=x2而言，在x比较小时，会存在y=x2比y=2x的增长快的情况，当x比较大时，y=2x比y=x2增长得更快。5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个x0，使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.指数函数值长非常快,因而常称这种现象为”指数爆炸”假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？令第x天,回报为y元方案一:y=40方案二:y=10x(x∈N+)方案三:y=2x·0.4(x∈N+)分析x/天1234567891011...方案一4040404040404040404040...方案二102030405060708090100110...方案三0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8409.6...050100150200250300350400450051015•投资5天以下选方案一•投资5－8天以下选方案二•投资8天以上选方案三某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x问：其中哪个模型能符合公司的要求？下面请大家作出这三个函数的图像,看图分析对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上是递增当x(20,1000)时,y5，因此该模型不符合要求;050100150200250300020040060080010001200y=0.25x对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算器,可以知道在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当xx0时,y5,因此该模型也不符合要求;012345678020040060080010001200y=1.002x对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.555,所以它符合012345050010001500y=㏒7x1、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关系是()A.0.32＜20.3＜log20.3;B.0.32＜log20.3＜20.3;C.log20.3＜20.3＜0.32;D.log20.3＜0.32＜20.3;D练习2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4,y=log4x的增长情况.xyy=4xy=x4y=log4x练习小结比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速度则越来越慢.