分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.知识聚焦不简单罗列1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝______________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝________________种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．正本清源不单纯记忆■链接教材1．[教材改编]现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，从中任选1人参加接待外宾的活动，有________种不同的选法．2．[教材改编]5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为________．3．[教材改编]如图9­55­1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．图9­55­1■易错问题4．分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．5．分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的．将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为________．■通性通法6．分类计数原理：分类时标准要明确．如果把个位数是1，且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________．7．分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种．探究点一分类加法计数原理1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种(2)现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5个侧面分别编号为1，2，3，4，5，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有________种．[总结反思]分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置．首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏．式题(1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为()A．840B．720C．600D．30(2)如图9­55­2所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为()图9­55­2A．15B．16C．17D．18探究点二分步乘法计数原理2(1)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．(2)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)[总结反思]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素(或位置)为主体的计数问题，通常先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)；(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定．式题(1)某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是()A．216B．420C．720D．1080(2)用5种不同的颜色为如图9­55­3所示的广告牌着色，要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为()图9­55­3A．320B．240C．180D．135探究点三两个计数原理的综合3(1)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60B．90C．120D．130(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图9­55­4)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．图9­55­4[总结反思](1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．(3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．式题设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A．50种B．49种C．48种D．47种学科能力自主阅读型误区警示21.分类与分步不当致误【典例】若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析D先找出①和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：一是4个都是奇数，在奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C54＝5(种)；二是2个奇数2个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2，4，6，8中任取2个，有②C52·C42＝60（种）；三是4个都是偶数，取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).①处对和为偶数的情况把握不准；②处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时，是分步还是分类区分不清，错把分步看成分类，而误用加法公式.【跟踪练习】(1)[2015·唐山二模]一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A．7种B．13种C．18种D．19种(2)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．