量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答

1量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答1.1试用普朗克公式证明维恩位移律.证：普朗克公式,其中按波长增加的方向辐射能量密度按波长分布于是,取,令,有,解得此时满足,即在时取最大值,从而1.4利用玻尔量子化条件求：(i)一维谐振子的能量;(ii)在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径.解：(i)一维谐振子的势能,设,则.由玻尔量子化条件一维谐振子的能量.(ii)由玻尔量子化条件.电子在均匀磁场中作圆周运动,满足,且.即电子的可能轨道半径1.7一个德布罗意波在空间的表示求：(i)和,在时刻这是否是个高斯波包?(ii)波包的宽度;(iii)是否依赖于?解：(i)波包其中量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答2即满足高斯波包分布,故在时刻这是个高斯波包.(ii)波包的宽度(iii)显然不依赖于,由归一化条件知2.1一维运动的粒子处在当当的态，求：(i)粒子的动量分布函数;(ii)动量的平均值.解：(i)由归一化条件(ii)动量的平均值其中,2.3粒子在势能为当当当的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中.证：在区,相应的薛定谔方程是在时,有界的解是量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答3在区,相应的薛定谔方程是在区,相应的薛定谔方程是在时,有界的解是由在处连续知解得即(得证)2.6设粒子的能量，求粒子在势阱壁处的反射系数.解：相应各区的薛定谔方程是在各个不同区域的解是其中和是在区的入射波与反射波,是在区的透射波.由于在区中无反射，因此不出现.利用在处波函数连续和波函数微商连续条件，得解得入射波的入射概率密度为相应于反射波的反射概率密度是反射系数为量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答42.8求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置.解：一维谐振子的波函数是其中微商,令，解得此时微商,取得最大值.故一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置2.12证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.证：一维谐振子的波函数是其中动能,势能量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答5即故对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.2.18设势场为、，求粒子的能量本征值.解：径向部分的薛定谔方程引入代换,化简有与氢原子径向部分方程比较,,粒子的能量本征值,,2.20一个质量为的粒子被限制在半径为和的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场，求粒子的基态能量和基态波函数.解：粒子所处的势场径向波函数所满足的边界条件是.径向部分的薛定谔方程.量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答6引入变换,,基态,可化为的解是,代入边界条件有即粒子的基态能量而归一化即基态波函数归一化基态波函数3.1若算符、满足,求证:（i）；（ii）用数学归纳法证明：.解：(i)(ii)10当时，显然成立；20假设当时，满足，则这就是说当时，满足.综上10,20可知对于任意的整数恒成立.3.4证明：；；；.证：1)由角动量与坐标算符的对易子，知同理有，即量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答7角动量算符与动量算符的对易子，同上可证2)3)同理2)可证3.8一维运动的粒子处在当当求.解：由归一化条件.3.10利用不确定性原理估算氢原子基态能量.解：设氢原子基态的最概然半径为，则原子半径的不确定范围可近似取为.由不确定性原理得.对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符为奇宇称，即.由，近似取.能量平均值为，近似取，则有.基态能量应取的最小值,由得,此时，，即在处取得最小值.（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为，核电荷为，总能量算符为(1)设原子的最概然半径为,则式（1）的基态平均值中可取(2)根据不确定度关系，可取(3)因此，基态能量约为(4)的取值应使为极小，由极值条件量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答8求得(5)其中为Bohr半径，将(5)代入(4),即得3.12设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量得到的值是，测量力学量的到的值是，求测量和可能得到的值.解：设体系处在状态，与有共同的本征函数，满足本征方程，.由，即．又也是的本征态，同时在表象中，的本征值为在表象中，的本征值为于是的本征值为：即只有两种情况：(1),;(2),;故测量和可能得到的值是.计算概率，以为例设出现的概率分别为由归一化解：.由对称性：，.(在表象中,)同时且.即，解得3.15质量为的自由粒子作为一维运动，在时的归一化波函数是高斯波包，满足（i）求；（ii）证明在时，粒子的概率密度满足（iii）用不确定性原理解释（i）和（ii）的结果.解：（i）(时)量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答9（ii）,.（iii）4.2设厄米算符,满足，,求：(i)在表象中，算符和的矩阵表示；(ii)在表象中，算符和的矩阵表示；(iii)在表象中，算符的本征值和本征函数；(iv)在表象中，算符的本征值和本征函数；(v)由表象到表象的幺正变换矩阵.解：(i)因为,本征方程.故算符,的本征值为.在表象中，的矩阵表达式应为对角阵，.设，则由得,而,由厄米算符满足于是,,即.(ii)同理(i),,.(iii)在表象中,的本征多项式,即的本征值为.当时，解本征方程.由得归一化本征函数;当时，解本征方程.由得归一化本征函数.即的本征函数是和.(iv)同理(iii),在表象中，的本征函数是和.(v)由表象到表象的幺正变换矩阵满足.其中，，于是使对角化的幺正变换，故量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答104.3如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则式中是坐标，,是相应于态和态的能量，求和对一切可能的状态进行.(注：由于质量与态字母一样，故将质量改为,避免混淆)解：,,故4.6证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.证:(充分性).设使对角化的幺正变换,则.的变换矩阵元即于是即时,时故是对角矩阵的元素，是对角矩阵，能用同一个幺正变换对角化.(必要性)能同时将对角化,即,的变换矩阵元(同充分性),即.4.7已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为：;求它们的本征值和归一化本征函数，最后将和对角化.量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答11解：本征多项式即的本征值为0,,当时，解本征方程.由得归一化本征函数;当时，解本征方程.由得归一化本征函数;当时，解本征方程.由得归一化本征函数.的归一化本征函数,和.将对角化.本征多项式即的本征值为0,,.当时，解本征方程.由得归一化本征函数;当时，解本征方程.由得归一化本征函数;量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答12当时，解本征方程.由得归一化本征函数.的归一化本征函数是,,.将对角化.4.10求矩阵的本征值和归一化的本征矢量？这些本征矢量正交吗？说明原因.解：矩阵的本征多项式.即矩阵的本征值为.当时，解本征方程.由得归一化本征函数.当时，解本征方程.由得归一化本征函数.当时，解本征方程.由得归一化本征函数.即矩阵的本征值为，归一化的本征矢量是,和.这些本征矢量不正交，因为只有对称矩阵的本征矢量才正交，而矩阵只是一般矩阵，不是对称矩阵.*限于水平，错误或不妥之处在所难免，诚恳地希望读者批评指正。E-mail：[e-mail]