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初中二次函数培优竞赛试题及答案1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.(1)求点C的坐标;(2)若抛物线y=-14x2+ax+4经过点C.①求抛物线的解析式;②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.1.【解析】试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;(2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式;②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑:(i)A为直角顶点,过A作AP1垂直于AB,且AP1=AB,过P1作P1M垂直于x轴,如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP1,利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等,得出AP1与P1M的长,再由P1为第二象限的点,得出此时P1的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作BP2垂直于BA,且BP2=BA,过P2作P2N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等,得出P2N与BN的长,由P2为第三象限的点,写出P2的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP3垂直于BA,且BP3=BA,如图所示,过P3作P3H垂直于y轴,同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB,可得出P3H与BH的长,由P3为第四象限的点,写出P3的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2),∴OA=CD=1,OB=AD=2,∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,∴C的坐标为(3,﹣1);(2)①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1),∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣92+3a+2,解得:a=12,则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2;②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,则延长CA至点P1使得P1A=CA,得到等腰直角三角形ABP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图所示,∵AP1=CA,∠MAP1=∠CAD,∠P1MA=∠CDA=90°,∴△AMP1≌△ADC,∴AM=AD=2,P1M=CD=1,∴P1(﹣1,1),经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP2⊥BA,且使得BP2=AB,得到等腰直角三角形ABP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图,同理可证△BP2N≌△ABO,∴NP2=OB=2,BN=OA=1,∴P2(﹣2,﹣1),经检验P2(﹣2,﹣1)也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP3⊥BA,且使得BP3=AB,得到等腰直角三角形ABP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图,同理可证△BP3H≌△BAO,∴HP3=OB=2,BH=OA=1,∴P3(2,﹣3),经检验P3(2,﹣3)不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;则符合条件的点有P1(﹣1,1),P2(﹣2,﹣1)两点.考点:1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形.2.【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)(3212,3212)(3)当t为43秒或2秒或3秒或143秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形【解析】试题分析:(1)先由直线AB的解析式为y=x+3,求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标,再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)设第三象限内的点F的坐标为(m,-m2-2m+3),运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标,再设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3,列出关于m的方程,解方程求出m的值,进而得出点F的坐标;(3)设P点坐标为(-1,n).先由B、C两点坐标,运用勾股定理求出BC2=10,再分三种情况进行讨论:①∠PBC=90°,先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2,据此列出关于n的方程,求出n的值,再计算出PD的长度,然后根据时间=路程÷速度,即可求出此时对应的t值;②∠BPC=90°,同①可求出对应的t值;③∠BCP=90°,同①可求出对应的t值.试题解析:(1)∵y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴当y=0时,x=-3,即A点坐标为(-3,0),当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3),将A(-3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,得930c3bc,解得23bc,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;(2)如图1,设第三象限内的点F的坐标为(m,-m2-2m+3),则m<0,-m2-2m+3<0.∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴对称轴为直线x=-1,顶点D的坐标为(-1,4),设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,则G(-1,0),AG=2.∵直线AB的解析式为y=x+3,∴当x=-1时,y=-1+3=2,∴E点坐标为(-1,2).∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×(m2+2m-3)-12×2×(-1-m)=m2+3m,∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时,m2+3m=3,解得:13212m,23212m(舍去),当3212m时,-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=3212,∴点F的坐标为(3212,3212);(3)设P点坐标为(-1,n).∵B(0,3),C(1,0),∴BC2=12+32=10.分三种情况:①如图2,如果∠PBC=90°,那么PB2+BC2=PC2,即(0+1)2+(n-3)2+10=(1+1)2+(n-0)2,化简整理得6n=16,解得n=83,∴P点坐标为(-1,83),∵顶点D的坐标为(-1,4),∴PD=4-83=43,∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t1=43;②如图3,如果∠BPC=90°,那么PB2+PC2=BC2,即(0+1)2+(n-3)2+(1+1)2+(n-0)2=10,化简整理得n2-3n+2=0,解得n=2或1,∴P点坐标为(-1,2)或(-1,1),∵顶点D的坐标为(-1,4),∴PD=4-2=2或PD=4-1=3,∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t2=2,t3=3;③如图4,如果∠BCP=90°,那么BC2+PC2=PB2,即10+(1+1)2+(n-0)2=(0+1)2+(n-3)2,化简整理得6n=-4,解得n=-23,∴P点坐标为(-1,-23),∵顶点D的坐标为(-1,4),∴PD=4+23=143,∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t4=143;综上可知,当t为43秒或2秒或3秒或143秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形.
本文标题:初中二次函数培优竞赛经典试题及答案
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