信号与系统复习要点

第一章识知要点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。①连续正弦信号一定是周期信号。②两连续周期信号之和不一定是周期信号。周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或的非周期信号就是能量信号，当，,∞→t0)(=tf∞→t0)(≠tf的非周期信号是功率信号。2.典型信号①指数信号：()atftKe=，a∈R②正弦信号：()sin()ftKtωθ=+③复指数信号：()stftKe=，sjσω=+④抽样信号：sin()tSatt=奇异信号（1）单位阶跃信号01()ut={0t=是的跳变点。()ut(0t)(0t)（2）单位冲激信号()1tdtδ∞−∞=∫单位冲激信号的性质：()0tδ=（当时）0t≠（1）取样性11()()(0)()()()fttdtfttftdtftδδ∞∞−∞−∞=−∫∫=相乘性质：()()(0)()fttftδδ=00()()()()0ftttftttδδ−=−（2）是偶函数()()ttδδ=−（3）比例性()1()attaδδ=（4）微积分性质d()()dutttδ=；()d()tutδττ−∞=∫1（5）冲激偶()()(0)()(0)()fttftftδδδ′′′=−；()()d(0)ftttfδ∞−∞′=−∫′()d()ttttδδ−∞′=∫；()()ttδδ′−=−′()d0ttδ∞−∞′=∫带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。3.信号的时域运算①移位：0()ftt+，为常数0t当0时，0t0()ftt+相当于()ft波形在t轴上左移；当0时,0t0t0()ftt+相当于()ft波形在t轴上右移。0t②反褶：()ft−()ft−的波形相当于将()ft以t=0为轴反褶。③尺度变换：()fat，a为常数当1时，a()fat的波形时将()ft的波形在时间轴上压缩为原来的1a；当01时，a()fat的波形在时间轴上扩展为原来的1a。④微分运算：()dftdt信号经微分运算后会突出其变化部分。4.系统的分类根据其数学模型的差异，可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统；5.系统的特性（1）线性性若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性。当激励为（、分别为常数时），系统的响应为。1122()()CftCft+1C2C1122()()CytCyt+线性系统具有分解特性：)()()(tytytyzszi+=零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数，但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数。（2）时不变性:对于时不变系统，当激励为0()ftt−时，响应为0()ftt−。（3）因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性。2第二章知识要点1．系统的全响应可按三种方式分解：；零状态响应零输入响应全响应)()()(tytytyzszi+=；强迫响应自由响应全响应)()()(tytytyph+=各响应分量的关系：{111()()()kknnnatatatkzikzskkkkytAeBtAeAeBt====+=++∑∑∑14k243142431442443强迫响应自由响应零输入响应零状态响应2．系统的零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由初始状态确定。零输入响应必然是自由响应的一部分。−03．任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：∫∞∞−−=ττδτdtftf)()()(那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分，即。零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。)()()(thtftyzs∗=4．单位冲激响应的求解。冲激响应是冲激信号作用系统的零状态响应。)(th5．卷积积分（1）定义ττττττdftfdtfftftf)()()()()(*)(212121−=−=∫∫∞∞−∞∞−（2）卷积代数①交换律)(*)()(*)((1221tftftftf=②分配率)(*)()(*)()]()([*)(3121321tftftftftftftf+=+③结合律)](*)([*)()(*)](*)([321321tftftftftftf=卷积的图解法（求某一时刻卷积值）1212()*()()()ftftfftdτττ∞−∞=−∫卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。(3)性质31）f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t))()(*)(00ttftttf−=−δ)()(*)(2121tttfttttf−−=−−δ（为常数）210,,ttt2）f(t)*δ’(t)=f’(t)3）f(t)*u(t)()()d()dtfutfτττττ∞−∞−∞=−=∫∫u(t)*u(t)=tu(t)4）[]121221d()d(d()*()*()()*ddnnnnn)dnftfftftftfttt==ttt5）121212[()*()]d[()d]*()()*[()d]ttfffftftfτττττττ−∞−∞−∞==∫∫∫6）f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)7)两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t。8）系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应；)(tyzic.求冲激响应；)(thd.求系统的零状态响应)()()(thtftyzs∗=；e.求系统的全响应)()()(tytytyzszi+=。第三章知识要点1．周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()ft（为其周期）可展开为傅里叶级数。1T(1)三角函数形式的傅里叶级数011()[cos()sin()]nnn1ftaantbntω∞==++∑ω式中112Tπω=，为正整数。n直流分量010011()tTtafT+=∫tdt余弦分量的幅度010112()cos()tTntaftnTω+=∫tdt正弦分量的幅度010112()sin()tTntbftnTω+=∫tdt4三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()nnnftaAntωϕ∞==++∑（2）指数形式的傅里叶级数1()jntnnftFeω∞=−∞=∑式中，为从到的整数。n−∞+∞复数频谱011011()tTjntntFftedtTω+−=∫利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。()()ftft=−，纵轴对称（偶函数）00240()coTtnntsbaftntdtT+==Ω∫，②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。()()ftft=−−，原点对称（奇函数）00240()sinTtnntabftnT+==Ω∫，tdt()()2Tftft=+，半周重叠（偶谐函数）无奇次谐波，只有直流和偶次谐波③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。()()2Tftft−=+，半周镜像（奇谐函数）无偶次谐波，只有奇次谐波分量2．从对周期矩形脉冲信号的分析可知：(1)信号的持续时间与频带宽度成反比;(2)周期T越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱；(3)周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。3.傅里叶变换傅里叶变换定义为正变换()[()]()jtFfftftedtωω∞−−∞==∫逆变换11()[()]()2jtftfFFedωωωωπ∞−−∞==∫频谱密度函数()Fω一般是复函数，可以写作()()()jFFeϕωωω=其中()Fω是()Fω的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是ω的偶函数。()ϕω是()Fω的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是ω的奇函数。常用函数F变换对：δ(t)112πδ(ω)u(t)1()jπδωω+5e-αtu(t)1jωα+gτ(t)2Saωττ⎛⎞⎜⎟⎝⎠sgn(t)2jωe–α|t|222ααω+2()cos[()()]sin[()()]cjtcccccettjωπδωωωπδωωδωωccωπδωωδωω↔−↔++−↔+−−3.傅里叶变换的基本性质1）线性特性1212()()()()aftbftaFjbFjωω+↔+2）对称特性()2()Fjtfπω↔−3）展缩特性1()()fatFjaaω←⎯→4）时移特性0-jt0()()fttFjeωω−←→⋅5）频移特性0j0()[()]tfteFjωωω⋅←→−6）时域卷积特性1212()()()()ftftFjFjωω∗←→⋅7）频域卷积特性12121()()[()()]2ftftFjFjωωπ⋅←→∗8）时域微分特性()()nnndfjFjdtωω←→⋅9）积分特性1()()(0)()tfdFjFjττωπω−∞←→+∫δω10）.频域微分特性()()nnnndFjtftjdωω←→⋅11)奇偶虚实性若()()()FRjXωωω=+，则①()ft是实偶函数()()fRωω=，即()fω为ω的实偶函数。6②()ft是实奇函数()()fjXωω=，即()fω为ω的虚奇函数。4.周期信号的傅里叶变换周期信号()ft的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±L处，每个冲激的强度等于()ft的傅里叶级数的相应系数的2nFπ倍。即1[()]2()nnFftFnπδωω∞=−∞=−∑5.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()sft的频谱为1()()ssnsfFTnωωω∞=−∞=−∑其中sT为抽样周期，()fω为被抽样信号()ft的频谱。上式表明，信号在时域被冲激序列抽样后，它的频谱()sFω是连续信号频谱()fω以抽样频谱sω为周期等幅地重复。6．对于线性非时变系统，若输入为非周期信号，系统的零状态响可用傅里叶变换求得。其方法为：(1)求激励f(t)的傅里叶变换F(jω)。(2)求频域系统函数H(jω)。(3)求零状态响应yzs(t)的傅里叶变换Yzs(jω)，即Yzs(jω)=H(jω)F(jω)。(4)求零状态响应的时域解，即yzs(t)=F-1[Yzs(jω)]7．对于线性非时变稳定系统，若输入为正弦信号)cos()(0tAtfω=，则稳态响应为)cos()()(000ϕωω+=tAjHty其中，0)()(00ϕωωjejHjH=为频域系统函数。8．对于线性非时变系统，若输入为非正弦的周期信号，则系统的稳态响应的频谱为()()*()[()*e]()ejntjntTnnnnythtftFhtFHjn∞∞ΩΩ=−∞=−∞===Ω∑∑其中，是输入信号的频谱，即的指数傅里叶级数的复系统。nF&)(tf)(ΩjnH是系统函数，Ω为基波。是输出信号的频谱。时间响应为nY&∑∞−∞=Ω=ntjnneYty&)(9．在时域中，无失真传输的条件是)()(0ttfKty−=在频域中，无失真传输系统的特性为0)(tjeKjHωω−=10．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过，且完7全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器。理想滤波器是非因果性的，物理上不可实现的。11．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率(带宽)成反比。12．时域取样定理注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号；（2）取样频率不能太低，必须fs≥2fm，或者说，