新高一数学暑假衔接课程

1新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域2第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb．【典型例题】：（1）计算：22)312(xx=___________________________________（2）计算：222(42)abaabb=______________________________（3）计算2232(964)xyxxyy=____________________________(4)223(469)xxxy=___________________________________变式1：利用公式计算（1）)916141(31212mmm=_______________________(2)2222()()abaabbabaabb=________________________3变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）3327mn（2）331278mn（3）3125x（4）66mn【典型例题】（1）)41101251)(2151(22nmnmnm（2）已知2310xx，求331xx的值．（3）已知0cba，求111111()()()abcbccaab的值．变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx变式2:已知4abc，4abbcac，求222abc的值．知识点二、根式式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()(0)aaa(2)2aa,0,,0.aaaa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)bbabaa【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：(1)22(32)(31)=___________(2)22(1)(2)(1)xxx=_____________（3）计算423=_______________________（4）2(1)(1)()ababab=_______________________(5)aaaabaab=_______________________（6）设2323,2323xy，求33xy=_______________________变式1:二次根式2aa成立的条件是()A．0aB．0aC．0aD．a是任意实数4变式2:若3x，则296|6|xxx的值是()A．－３B．３C．－９D．９变式3：计算743（1）2(1)(1)()ababab(2)aaaabaab知识点三、分式【典型例题—1】：1、分式的化简（1）化简233396162279xxxxxxxx（2）化简11xxxxx2、（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．3、分式的运用设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值变式1：对任意的正整数n，1(2)nn______________5变式2:选择题：若223xyxy，则xy=（）（A）１（B）54（C）45（D）65变式3:计算1111...12233499100知识点四、因式分解【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。1、【典型例题】：公式法(立方和、立方差公式)我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()abaabbab(立方和公式)2233()()abaabbab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()ababaabb3322()()ababaabb这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。例：(1)38x(2)30.12527b6变式：分解因式：(1)34381abb(2)76aab2、【典型例题】：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式例：分解因式（1）2105axaybybx=_______________________（2）2222()()abcdabcd=_______________________（3）22xyaxay=_______________________（4）2222428xxyyz=_______________________3、【典型例题】：十字相乘法2()xpqxpq型的因式分解把下列各式因式分解：（1）276xx=_______________________（2）21336xx=_______________________（3）2524xx=_______________________（4）2215xx=_______________________（5）226xxyy=_______________________(6)222()8()12xxxx=_______________________一般二次三项式2axbxc型的因式分解(1)21252xx(2)22568xxyy变式练习:（1）x2-6x+5=_______________________（2）x2+15x+56=_______________________7（3）x2+2xy-3y2=_______________________（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12=_______________________4、拆项法(选讲）分解因式3234xx=_______________________课后练习：1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；(3)2222(2)4(abcabc)．（4）若22322481xyxxyyy，则,xy的值为________（5）若210xx，则4221xxx______________（6）12a，13b，则2223352aabaabb________________（7）若2220xxyy，则22223xxyyxy_______________（8）若2ababba，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（9）计算1aa等于（）（A）a（B）a（C）a（D）a8（10）若112xy，则33xxyyxxyy的值为()A．35B．35C．53D．532．化简：(1)219102325mmmmmm(2)222(0)2xyxyxyxxy3．把下列各式分解因式：(1)233axayxyy(2)328421xxx(3)251526xxxyy（4）22414xyxy(5)432234abbababa(6)66321xyx第2讲一元二次方程与韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式【典型例题】例1.求下列方程的根（1）0322xx(2)0122xx(3)0322xx例2.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0（4）x2－2x＋a＝0．变式练习:已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；9(3)方程有实数根；(4)方程无实数根。知识点二、根与系数的关系（韦达定理）【内容概述】若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根2142bbacxa，2242bbacxa，则有：2212442222bbacbbacbbxxaaaa；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即：p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0。由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根．因此有：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例3.已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．例4.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．例5.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．