常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版

常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2−1)dx+(2x+1)dy=0解：P(x,y)=3x2−1，Q(x,y)=2x+1，则∂∂Py=0，∂∂Qx=2，所以∂∂Py≠∂∂Qx即，原方程不是恰当方程．２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0解：P(x,y)=x+2y,Q(x,y)=2x−y,则∂∂Py=2,∂∂Qx=2,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则xdx+(2ydx+2xdy)−ydy=0,22两边积分得：x+2xy−y=C.223．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0(a,b和c为常数)．解：P(x,y)=ax+by,Q(x,y)=bx+cy,则∂∂Py=b,∂∂Qx=b,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则axdx+bydx+bxdycydy=0,（）+两边积分得：ax2+bxy+cy2=C.224．(ax−by)dx+(bx−cy)dy=0(b≠0)解：P(x,y)=ax−by,Q(x,y)=bx−cy,则∂∂Py=−b,∂∂Qx=b,因为b≠0,所以∂∂Py≠∂∂Qx，即，原方程不为恰当方程-1­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案５．(t2+1)cosudu+2tsinudt=0解：P(t,u)=(t2+1)cosu,Q(t,u)=2tsinu则∂∂Pt=2tcosu,∂∂Qx=2tcosu,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则(t2cosudu+2tsinudt)+cosudu=0,两边积分得：(t2+1)sinu=C.６．(yex+2ex+y2)dx+(ex+2xy)dy=0解：P(x,y=yex+2ex+y2,Q(x,y)=ex+2xy，则∂∂Py=ex+2y,∂∂Qx=ex+2y,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则2exdx+[(yex+y2)dx+(ex+2xy)dy]=0,两边积分得：(2+y)ex+xy2=C.７．(y+x2)dx+(lnx−2y)dy=0x解：P(x,y)=y+x2Q(x,y)=lnx−2y,x则∂∂Py=1x,∂∂Qx=1x,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则(ydx+lnxdy)+x2dx−2ydy=0x3两边积分得：x3+ylnx−y2=C.８．(ax2+by2)dx+cxydy=0(a,b和c为常数)解：P(x,y)=ax2+by2,Q(x,y)=cxy,则∂∂Py=2by,∂∂Qx=cy,所以当∂∂Py=∂∂Qx，即2b=c时，原方程为恰当方程-2­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则ax2dx+(by2dx+cxydy)=03两边积分得：ax+bxy2=C.3而当2b≠c时原方程不是恰当方程．９．2s−1ds+s−2s2dt=0tt解：P(t,s)=2s−1,Q(t,s)=s−2s2,tt则∂∂Pt=1−t22s,∂∂Qs=1−t22s,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程,两边积分得：s−s2=C．t10．xf(x2+y2)dx+yf(x2+y2)dy=0,其中f(⋅)是连续的可微函数．解：P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2),则∂∂Py=2xyf′,∂∂Qx=2xyf′,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f(x2+y2)dx=C,即原方程的解为F(x2+y2)=C(其中F为f的原积分)．-3­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-21.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2(１)dx=y解：原方程即为：ydy=x2dx两边积分得：3y2−2x3=C,y≠0．dyx2(２)dx=y(1+x)32解：原方程即为：ydy=1+xx3dx两边积分得：3y2−2ln1+x3=C,y≠0,x≠−1．(３)dy+y2sinx=0dx解：当y≠0时原方程为：dy+sinxdx=0y2两边积分得：1+(c+cosx)y=0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c+cosx)y=0．dy22(４)dx=1+x+y+xy；解：原方程即为：1+dyy2=)(1+xdx2两边积分得：arctgy=x+x2+c，即y=tg(x+x22+c)．-4­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(５)dy=(cosxcos2y)2dx解：①当cos2y≠0时原方程即为：(cosdy2y)2=(cosx)2dx两边积分得：2tg2y−2x−2sin2x=c．②cos2y=0，即y=kπ+π也是方程的解.(k∈N)24(６)xdy=1−y2dx解：①当y≠±1时dydx原方程即为：1−y2=x两边积分得：arcsiny−lnx=c．②y=±1也是方程的解.dyx−e−x(７)．dx=y+ey解．原方程即为：(y+ey)dy=(x−e−x)dx22两边积分得：y+ey=x+e−x+c，22原方程的解为：y2−x2+2(ey−e−x)=c.2.解下列微分方程的初值问题．(１)sin2xdx+cos3ydy=0,y(π)=π；23解：两边积分得：−cos22x+sin33y=c，即2sin3y−3cos2x=c因为y(π2)=π3,所以c=3.-5­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y−3cos2x=3．x(２)．xdx+ye−dy=0，y(0)=1；解：原方程即为：xexdx+ydy=0，两边积分得：(x−1)exdx+y22dy=c，因为y(0)=1，所以c=−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x−1)exdx+y2dy+1=0．(３)．dr=r，r(0)=2；dθ解：原方程即为：dr=dθ，两边积分得：lnr−θ=c，r因为r(0)=2，所以c=ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lnr−θ=ln2即r=2eθ．dylnx(４)．dx=1+y2,y(1)=0;解：原方程即为：(1+y2)dy=lnxdx,两边积分得：y3xxlny++−x=c,3因为y(1)=0，所以c=1，3所以原方程满足初值为：yxxlny++−x=132dy3(５)．1+xdx=xy，y(0)=1；dyx解：原方程即为：y3=1+x2dx，-6­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2两边积分得：−12y−2=1+x+c，因为y(0)=1，所以c=−3，2所以原方程满足初值问题的解为：21+x2+y1=3．23.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy=cosxdx解：两边积分得：y=sinx+c．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy=ay，(常数a≠0)；解：①当y≠0时，原方程即为：aydy=dx积分得：a1lny=xc+，即y=ceax(c0)②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y-7­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(３)．dy=1−y2；dx解：①当y≠±1时，1+y原方程即为：(1−dyy2)=dx积分得：ln=2x+c，1−y即y=ce2x−1．ce2x+1②y=±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dyn1(４)．dx=y，(n=3,1,2)；解：①当y≠0时，1dyⅰ)n=3,2时，原方程即为yn=dx，积分得：x+1y1−n=c．n−1ⅱ)n=1时，原方程即为dyy=dx积分得：lny=x+c，即y=cex(c0)．②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：-8­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案4.跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．解：设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义，则有dyydxb2−y2，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解．=−解之得：x=12blnbb+−bb22+−yy22−b2−y2．5.设微分方程dy=f(y)(2.27)，其中f(y)在y=a的某邻域(例如，区间y−aε)dx内连续，而且f(y)=0⇔y=a，则在直线y=a上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫aaf(y)证明：(⇒)首先经过域R1：−∞x+∞,a−ε≤ya和域R2：−∞x+∞,-9­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案ay≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy=x−x0.(*)∫yy0f(y)这些积分曲线彼此不相交.其次，域R1(R2)内的所有积分曲线∫fdy(y)=x+c都可由其中一条，比如∫fdy(y)=x+c0沿着x轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R1内某一点(x0,a−ε)的积分曲线，它由(*)式确定.dydy若收敛，即存在x=x1，使得=x1−x0,∫−aaε∫aa−εf(y)f(y)即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a).由(*)式易看出，所论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切，在这种情形下，经过此直线上的dy⇐一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以发散.()∫−aaεf(y)dy若积分发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(x0,a−ε)的积分∫−aaεf(y)曲线，不可能达到直线y=a上，而以直线y=a为渐近线，又注意到y=a也是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过(x0,a−ε)的解是唯一的.注：对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．(１)．dy=；ydx-10­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案lnyy≠0dyy(２)．dx0==y0-11­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-31.求解微分方程：(１)dy+2y=xe−x;dx解：p(x)=2,q(x)=xe−x，由公式得：y=e−2x(c+∫xe−xe2xdx)=ce−2x+xe−x−e−x，原方程的解为：y=ce−2x+xe−x−e−x．dy(２)dx+ytgx=sin2x；解：p(x)=tgx,q(x)=sin2x，sinxd(cosx)+c，则有p(x)dx=tgxdx=dx=−dx=−lncosx∫∫∫∫cosxcosxlncosx−lncosxy=e(c+sin2xedx)∫sin2x=cosx(c+dx)=cosx(c−2cosx)=ccosx−2cos2x∫cosx原方程的解为：y=ccosx−2cos2x．dy1(３)xdx+2y=sinx,y(π)=π；dy2sinx2sinx解：原方程即为：dx+xy=x，则p(x)=x,q(x)=x，∫p(x)dx=∫2dx=lnx2+c，则有x−lnx2sinxlnxy=e(c+e2)∫x12∫=(c+xsinxdx)x1=2(c−xcosx+sinx)x因为y(π)=1，所以c=0．π原方程满足初值问题的解为：y=−1cosx+1sinx．2xxdy1(４)dx−1−x2y=1+x，y(0)=1；-12­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案12x−1解：p(x)=1−1x2,q(x)=1+x,∫p(x)dx=lnx+111−1122lnxx+1lnxx−+1dx)则y=e(c+∫(1+x)ex+1(c+∫x2−1dx)x1x−1=x+1(c+∫1−x2dx)x11−x要求满足初值问题y(0)=1的解x+1只需求(c+∫1−x2dx)x11−xx+111=(c+arcsinx+x1−x2)1−x22代入初值得c=1x+111所以满足初值问题的解为y=(1+arcsinx+x1−